盒子里有 6 个红球和 6 个蓝球，一次性取出 6 个球。求其中至少有 2 个红球的概率。

Step-by-step solution

1. 1

   先数出样本空间。 球是一次性取出的，所以顺序无关，$12$ 个球里任取 $6$ 个的每一种取法都等可能：

   $\binom{12}{6}=924.$

2. 2

   用对立事件，而不是分五种情况讨论。 「至少 $2$ 个红球」包含红球数为 $2,3,4,5,6$ 的五种情况，要算五次；而它的对立事件只有两种：$0$ 个红球或 $1$ 个红球。于是

   $P(\text{至少 }2\text{ 个红球})=1-P(0\text{ 个红球})-P(1\text{ 个红球}).$

   只要「至少 $k$ 个」的另一侧情况更少，走对立事件就是更短的路。

3. 3

   数出一个红球都没有的取法。 取出的六个球必须全是蓝球，而蓝球恰好只有 $6$ 个，所以这样的取法只有一种：

   $\binom{6}{0}\binom{6}{6}=1\cdot 1=1.$

4. 4

   数出恰好一个红球的取法。 从 $6$ 个红球里选 $1$ 个，再从 $6$ 个蓝球里选 $5$ 个，两次选择互不影响，所以相乘：

   $\binom{6}{1}\binom{6}{5}=6\cdot 6=36.$

   合起来，对立事件占 $924$ 种取法中的 $1+36=37$ 种。

5. 5

   相减得到答案。

   $P=1-\frac{37}{924}=\frac{924-37}{924}=\frac{887}{924}\approx 0.9600.$

   这个分数已经是最简形式（$924=2^{2}\cdot 3\cdot 7\cdot 11$ 与素数 $887$ 没有公因数）。把 $924$ 种取法全部枚举一遍，恰好有 $887$ 种含两个或更多红球，与结果吻合——概率接近 $96\%$ 也很合理：取走盒子里一半的球却几乎避开某一种颜色，本来就极不可能。