从写有 1、2、3 的卡片袋中抽一张，记录后放回，如此重复五次。把记录的五个数按从大到小排成 a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e。求 b = 3 的概率。

Step-by-step solution

1. 1

   把这个次序统计量翻译成计数条件。 从大到小排列后，$b$ 是第二大的那个值。由于 $3$ 是卡片上可能的最大数字，$b=3$ 当且仅当五次抽取中至少有两次抽到 $3$。（若只出现一次 $3$，那么 $a$ 是 $3$，但 $b$ 只能是 $2$ 或 $1$。）

   $\{b=3\}=\{X\ge 2\},\qquad X=\#\text{ 抽到 }3\text{ 的次数}$

2. 2

   确定 X 服从什么分布。 抽取是有放回的，所以 $X\sim\text{Binomial}(n=5,\ p=\tfrac13)$。

3. 3

   用对立事件——只要算两项，不用算四项。 与其去加 $P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)$，不如把两个小情形减掉：

   $P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

4. 4

   算出这两个要减掉的项。

   $P(X=0)=\left(\frac23\right)^{5}=\frac{32}{243},\qquad P(X=1)=\binom51\left(\frac13\right)\left(\frac23\right)^{4}=\frac{80}{243}$

5. 5

   作差。

   $P(b=3)=1-\frac{32}{243}-\frac{80}{243}=\frac{243-112}{243}=\frac{131}{243}\approx 0.539$

   $\boxed{\dfrac{131}{243}}$

6. 6

   用对应的 b = 1 情形交叉检验。 由对称的推理，$b=1$ 要求至多有一次抽到 $2$ 或 $3$，概率为 $\left(\tfrac13\right)^5+5\left(\tfrac23\right)\left(\tfrac13\right)^4=\tfrac{1+10}{243}=\tfrac{11}{243}$。由于 $b$ 只能是 $1$、$2$ 或 $3$，剩下的一种情形是 $P(b=2)=1-\tfrac{131}{243}-\tfrac{11}{243}=\tfrac{101}{243}$，三者之和恰为 $1$ ✓。