一个容量 n = 278 的样本，样本均值为 8.83，样本标准差为 41.40。求总体均值的 95% 置信区间。

Step-by-step solution

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   先选对区间公式。 总体标准差 $\sigma$ 未知，只能从样本里估计出来，所以正确的构造是 $t$ 区间

   $\bar x\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt n}$

   自由度为 $n-1=277$。$n=278$ 已经足够大，由中心极限定理，即使原始数据并不服从正态分布，这个区间仍然成立——这一点在本题里很要紧，因为 $s=41.40$ 差不多是均值的五倍，强烈暗示这是一个严重偏斜的变量。

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   算出均值的标准误。 它衡量的是 $\bar x$ 本身在不同样本之间会来回波动多少：

   $SE=\frac{s}{\sqrt n}=\frac{41.40}{\sqrt{278}}=\frac{41.40}{16.6733}=2.4830$

   分母上的 $\sqrt n$ 正是大样本管用的原因：原始的离散程度 $41.40$ 被压缩了将近 $17$ 倍。

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   查 $95\%$ 置信水平对应的临界值。 $95\%$ 的置信度对应 $\alpha=0.05$，两侧尾部各占 $0.025$。当 $df=277$ 时，

   $t_{0.025,\,277}=1.9686$

   它只比正态的 $z_{0.025}=1.9600$ 高出一丝，因为自由度上百的 $t$ 分布与标准正态几乎分辨不出差别。这里改用 $z$ 也说得过去，但只要 $\sigma$ 是估计出来的，严格来说就该用 $t$。

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   相乘得到误差界。

   $ME=t\cdot SE=1.9686\times2.4830=4.8880$

   只在最后一步四舍五入；如果先把 $SE$ 舍成 $2.48$，端点会在小数点后第三位上偏掉。

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   把区间拼出来。

   $\bar x\pm ME=8.83\pm4.888\;\Longrightarrow\;(8.83-4.888,\;8.83+4.888)=(3.942,\;13.718)$

   保留两位小数，$\mu$ 的 $95\%$ 置信区间就是 $(3.94,\;13.72)$。作为对照，用 $z$ 算出来的区间是 $(3.96,\;13.70)$——与上面相差不到 $0.02$，在这样的样本量下正该如此。

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   要解释对它的含义。 这句话说的是方法，而不是眼前这一个区间：如果把抽样重复许多次，用这种方法造出来的区间中会有 $95\%$ 包含真实的均值 $\mu$。说「有 $95\%$ 的个体数据落在 $(3.94,13.72)$ 里」是不对的——数据本身的离散程度由 $s=41.40$ 决定，大约比这个区间宽十七倍，而这个区间刻画的只是均值的不确定性。