一副 60 张的牌中有 5 张标记为 A，另有 23 张不同的牌标记为 B。无放回随机抽出 5 张，求这 5 张里至少含一张 A 且至少含一张 B 的概率。

Step-by-step solution

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   先把牌分成三个互不相交的组。 两种标记不重叠，所以整副牌分成

   $5\ \text{张标 A},\qquad 23\ \text{张标 B},\qquad 60-5-23=32\ \text{张无标记}$

   后面每一次计数，都是从其中某一堆里选 $5$ 张，而等可能的手牌总数是

   $\binom{60}{5}=5{,}461{,}512$

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   改用补事件——「至少一张……且至少一张……」正面硬算太痛苦。 要一边数 $1$ 张 A、$2$ 张 A、$3$ 张 A……一边同时盯着 B 的张数，那是个双重求和。不如令

   $A=\{\text{至少一张 A}\},\qquad B=\{\text{至少一张 B}\}$

   对补事件用容斥原理：

   $P(A\cap B)=1-P(A^c\cup B^c)=1-P(A^c)-P(B^c)+P(A^c\cap B^c)$

   这三个补事件各自都只描述从单独一堆里抽牌，所以每个都只是一个组合数。$+P(A^c\cap B^c)$ 这一项不能省：两种标记都没抽到的手牌被减了两次，必须加回来一次。

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   数没有 A 的手牌。 它们来自 $60-5=55$ 张非 A 牌：

   $P(A^c)=\frac{\binom{55}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{3{,}478{,}761}{5{,}461{,}512}=0.63696$

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   数没有 B 的手牌。 它们来自 $60-23=37$ 张非 B 牌：

   $P(B^c)=\frac{\binom{37}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{435{,}897}{5{,}461{,}512}=0.07981$

   这个概率很小，正是我们预期的合理性检查：$60$ 张里有 $23$ 张标 B，抽 5 张却一张都碰不到，本就应该是小概率事件。

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   数两种标记都没有的手牌。 这些只能从 $32$ 张无标记的牌里抽：

   $P(A^c\cap B^c)=\frac{\binom{32}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{201{,}376}{5{,}461{,}512}=0.03687$

6. 6

   合并。 把四个计数通分到公分母 $\binom{60}{5}$ 上：

   $P(A\cap B)=\frac{5{,}461{,}512-3{,}478{,}761-435{,}897+201{,}376}{5{,}461{,}512}=\frac{1{,}748{,}230}{5{,}461{,}512}$

   $P(A\cap B)=0.32010\approx32.0\%$

7. 7

   拿粗略估计核对结果。 单看至少抓到一张 A 的概率是 $1-0.63696=0.36304$，单看至少一张 B 的概率是 $1-0.07981=0.92019$。若两事件独立，乘积应为 $0.36304\times0.92019=0.33406$；真实答案 $0.32010$ 略低一些，这恰恰是对的——两个事件是轻微负相关的，因为 5 张手牌里被 A 占掉的位置，就是不能再放 B 的位置。