一项调查把幸福感（不太幸福、比较幸福、非常幸福）与家庭收入（高于平均、平均、低于平均）做了交叉列表，各行计数分别是 453 人中的 58/278/117、445 人中的 59/285/101、500 人中的 66/294/140。指出解释变量与响应变量，再求出各收入水平下幸福感的条件比例并加以解释。

Step-by-step solution

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   先判断谁解释谁。 题目关心的是「幸福感是否随收入水平而变化」——幸福感是可能发生变化的那一方，收入是可能引起变化的那一方。所以收入是解释变量，幸福感是响应变量。这不是无关紧要的记账问题：它直接决定了百分比该往哪个方向去算。

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   按解释变量指定的方向做条件化。 收入是解释变量，而且它标记的是行，所以要拿每个计数去除以它所在行的合计。这样回答的才是「在这个收入水平的人里，有多大比例非常幸福？」；若除以列合计，回答的就是另一个、也不那么相关的问题了。

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   先算高于平均收入这一行（合计 453）。

   $\frac{58}{453}=12.8\%,\qquad \frac{278}{453}=61.4\%,\qquad \frac{117}{453}=25.8\%.$

   三个数加起来正好是 $100\%$，这就是条件化方向没搞错的检验。

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   再算另外两行。 平均收入（合计 $445$）：

   $\frac{59}{445}=13.3\%,\qquad \frac{285}{445}=64.0\%,\qquad \frac{101}{445}=22.7\%.$

   低于平均收入（合计 $500$）：

   $\frac{66}{500}=13.2\%,\qquad \frac{294}{500}=58.8\%,\qquad \frac{140}{500}=28.0\%.$

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   逐列对比，判断关联强弱。 顺着每一列往下读。「不太幸福」几乎纹丝不动：$12.8\%$、$13.3\%$、$13.2\%$。「非常幸福」波动稍大一点：$25.8\%$、$22.7\%$、$28.0\%$——而且和一般人的预期相反，占比最高的反倒是低于平均收入那一组。

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   给出解释。 如果收入与幸福感相互独立，每一行都应该贴近总体的 $13.1\%$ / $61.3\%$ / $25.6\%$。实际各行与它只差几个百分点，而且偏离方向也不一致，所以在这份样本里，收入水平与幸福感之间的关联是弱的。在 $1398$ 人的样本中，这么小的差异要先经过正式的卡方检验确认，才谈得上是真实存在的。