一个容量 N = 8 的样本满足 ΣX = 48、ΣX² = 351。以假设均值 9.00 作检验，t 值是多少？

Step-by-step solution

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   先写出单样本 $t$ 检验的公式。

   $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{N}}$

   需要的量全都能由 $N$、$\sum X$ 和 $\sum X^2$ 还原出来——根本用不着原始数据。

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   求样本均值和离差平方和。

   $\bar{X} = \frac{48}{8} = 6.00, \qquad SS = \sum X^2 - \frac{\left(\sum X\right)^2}{N} = 351 - \frac{2304}{8} = 63$

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   求标准差和标准误。 分母用 $N-1 = 7$：

   $s^2 = \frac{63}{7} = 9, \quad s = 3, \quad s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{N}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2.828427} = 1.060660$

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   算出 $t$，并保留符号。 样本均值 $6$ 低于假设的 $9$，所以 $t$ 必然是负的——这里算出正数就说明符号掉了：

   $t = \frac{6.00 - 9.00}{1.060660} = \frac{-3}{1.060660} = -2.8284 \approx -2.83$

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   对照几个似是而非的错误答案。 $-8.00$ 来自把均值之差除成 $s^2/\ldots$ 之类的错误；要得到 $-2.65$ 得有 $s_{\bar X} = 1.132$；$3.02$ 则是符号和数值都不对。另外记下精确值：$\dfrac{3}{3/\sqrt{8}} = \sqrt{8} = 2.8284$，所以 $t = -\sqrt{8}$ 是精确的。

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   给出结论。 自由度 $df = N - 1 = 7$，双侧检验在 $\alpha = 0.05$ 下的临界值是 $2.365$。因为 $|-2.83| > 2.365$，所以样本均值 $6.00$ 在 $5\%$ 的水平上与 $9.00$ 有显著差异。