一组样本容量 N = 8 的分数满足 ΣX = 48、ΣX² = 351。以 2.00 为假设均值做双侧单样本 t 检验：求 t 值，判断是否拒绝原假设，并计算效应量。

Step-by-step solution

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   直接由总和求样本均值。

   $\bar X=\frac{\sum X}{N}=\frac{48}{8}=6$

   做 $t$ 检验从来不需要原始数据——$N$、$\sum X$ 和 $\sum X^{2}$ 已经带上了检验所需的全部信息。

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   用平方和的计算公式。 按定义式 $\sum(X-\bar X)^2$ 需要每一个具体分数，而与之代数等价的这个形式则不需要：

   $SS=\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}=351-\frac{48^{2}}{8}=351-288=63$

   $s^{2}=\frac{SS}{N-1}=\frac{63}{7}=9\qquad\Longrightarrow\qquad s=3$

   除以 $N-1$ 而不是 $N$，才使 $s^2$ 成为总体方差的无偏估计，也正是这一点把自由度定为 $7$。

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   把样本标准差换算成标准误。 检验统计量衡量的是样本均值与 $\mu_0$ 相差多少个「样本均值自身的波动幅度」：

   $SE=\frac{s}{\sqrt N}=\frac{3}{\sqrt 8}=\frac{3}{2.8284}=1.0607$

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   计算 $t$ 统计量。

   $t=\frac{\bar X-\mu_0}{SE}=\frac{6-2}{1.0607}=3.771\qquad(df=N-1=7)$

   如果选择题的选项里没有接近 $3.77$ 的值，正确回答就是「以上都不是」——不要为了凑上某个相邻选项而硬凑四舍五入。

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   与自由度为 7 时的临界值比较。 双侧临界值为

   $t_{.05}=2.365,\qquad t_{.01}=3.499,\qquad t_{.001}=5.408$

   因为 $3.771$ 超过了 $2.365$ 和 $3.499$，但没超过 $5.408$，所以在 .05 和 .01 水平上拒绝原假设，在 .001 水平上不拒绝。精确的双侧 $p$ 值是 $0.0070$，正好落在 $.01$ 与 $.001$ 之间，与上面的比较完全一致。

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   再报告效应量——这是显著性本身给不了的信息。 对单样本检验，Cohen's $d$ 衡量的是以标准差为单位的差距：

   $d=\frac{\bar X-\mu_0}{s}=\frac{6-2}{3}=1.33$

   按通行的参考标准（$0.2$ 小、$0.5$ 中、$0.8$ 大），这属于大效应。注意 $d$ 用的是 $s$ 而不是 $SE$——若误除以 $1.0607$，得到的不过是 $t$ 值本身。