某数学班上，一半学生某次测验考了 40 分；除少数考 80 分的学生外，其余学生考了 58 分。关于这个分布，下列哪种说法正确：平均数等于中位数、平均数小于众数、平均数小于中位数，还是平均数大于中位数？

Step-by-step solution

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   别凭感觉推，先把记号立起来。 设班级人数为 $N$（偶数），于是有 $\tfrac{N}{2}$ 名学生考 $40$ 分，$k$ 名学生考 $80$ 分（$k$ 很小且 $k \ge 1$），其余 $\tfrac{N}{2} - k$ 名考 $58$ 分。下面的推导只用到这些人数，所以结论不会因为「少数」到底是几个人而改变。

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   精确定位中位数。 按升序排列，第 $1$ 到第 $\tfrac{N}{2}$ 个位置上全是 $40$；从第 $\tfrac{N}{2}+1$ 个位置起先是 $58$、再是 $80$。$N$ 为偶数时中位数取第 $\tfrac{N}{2}$ 与第 $\tfrac{N}{2}+1$ 个数的平均：

   $\text{中位数} = \frac{40 + 58}{2} = 49$

   它与 $k$ 无关——这是关键，因为这意味着只有平均数会动。

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   把平均数算成闭形式。

   $\text{平均数} = \frac{40\cdot\tfrac{N}{2} + 58\left(\tfrac{N}{2} - k\right) + 80k}{N} = \frac{49N + 22k}{N} = 49 + \frac{22k}{N}$

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   做比较。 由于 $k \ge 1$，那一项 $\tfrac{22k}{N}$ 严格为正，所以

   $\text{平均数} = 49 + \frac{22k}{N} > 49 = \text{中位数}$

   这个分布是右偏的：远高于主体的一小撮数据把平均数拉过了中位数，而中位数纹丝不动。所以选 D。

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   排除其余选项。 A 错，因为平均数严格大于 $49$。C 把不等号方向弄反了。B 也错：众数是 $40$（占全班一半），而平均数在 $49$ 以上，所以平均数比众数大，而不是小。

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   用具体数字检验。 取 $N = 20$、$k = 3$：十个 $40$ 分、三个 $80$ 分、七个 $58$ 分。平均数 $= \tfrac{400 + 240 + 406}{20} = 52.3$，中位数 $= 49$，众数 $= 40$。再取 $N = 40$、$k = 5$：平均数 $= 51.75$，中位数 $= 49$。两组都与公式 $49 + \tfrac{22k}{N}$ 吻合。