设 (X, Y) 的联合密度为 f(x, y) = c x² y（当 x² ≤ y ≤ 1 时），其余为 0。求 c、两个边缘密度，并判断 X 与 Y 是否独立。

Step-by-step solution

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   先把支撑集说清楚，再动手积分。 条件 $x^{2}\le y\le 1$ 要求 $x^{2}\le 1$，所以 $-1\le x\le 1$：这块区域就是抛物线 $y=x^{2}$ 与水平线 $y=1$ 之间的部分。漏掉 $x$ 的这个隐含范围，是最常见的第一个错误。

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   归一化，先对 y 积分。

   $\int_{-1}^{1}\!\!\int_{x^{2}}^{1}cx^{2}y\,dy\,dx=\int_{-1}^{1}cx^{2}\cdot\frac{1-x^{4}}{2}\,dx=\frac{c}{2}\int_{-1}^{1}\left(x^{2}-x^{6}\right)dx$

   两个被积函数都是偶函数，所以

   $\frac{c}{2}\left(\frac23-\frac27\right)=\frac{c}{2}\cdot\frac{8}{21}=\frac{4c}{21}=1\quad\Longrightarrow\quad c=\frac{21}{4}$

3. 3

   求 X 的边缘密度。 对每个 $x\in[-1,1]$，把 $y$ 从 $x^{2}$ 积到 $1$：

   $f_X(x)=\int_{x^{2}}^{1}\frac{21}{4}x^{2}y\,dy=\frac{21}{4}x^{2}\cdot\frac{1-x^{4}}{2}=\frac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right),\qquad -1\le x\le 1$

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   求 Y 的边缘密度。 对每个 $y\in[0,1]$，条件 $x^{2}\le y$ 意味着 $-\sqrt y\le x\le\sqrt y$：

   $f_Y(y)=\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\frac{21}{4}x^{2}y\,dx=\frac{21}{4}y\cdot\frac{2y^{3/2}}{3}=\frac{7}{2}y^{5/2},\qquad 0\le y\le 1$

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   判断是否独立。 支撑集的边界是一条抛物线而不是矩形——$Y$ 越小，$X$ 能取的范围越窄——所以两个变量不可能独立。用公式再确认一次：

   $f_X(x)f_Y(y)=\frac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right)\cdot\frac72y^{5/2}\neq\frac{21}{4}x^{2}y=f(x,y)$

   $\boxed{c=\tfrac{21}{4};\ f_X(x)=\tfrac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right),\ f_Y(y)=\tfrac72y^{5/2};\ \text{不独立}}$

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   检验两个边缘密度都积分为 1。 $\int_{-1}^{1}\tfrac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right)dx=\tfrac{21}{8}\cdot 2\left(\tfrac13-\tfrac17\right)=\tfrac{21}{4}\cdot\tfrac{4}{21}=1$ ✓，$\int_{0}^{1}\tfrac72y^{5/2}dy=\tfrac72\cdot\tfrac{2}{7}=1$ ✓。