求数据 3, 7, 5, 9, 5, 2 的平均数、中位数和众数。

Step-by-step solution

1. 1

   平均数：把所有数据相加，再除以个数。 平均数与顺序无关，所以不需要排序：

   $3+7+5+9+5+2=31,\qquad n=6,$

   $\bar{x}=\frac{31}{6}=5.1\overline{6}\approx 5.1667.$

   把答案保留成精确分数 $\tfrac{31}{6}$ 比四舍五入更规范，因为 $31$ 不能被 $6$ 整除，任何小数都只是近似值。

2. 2

   动手求中位数之前先排序。 中位数是在排好序的数列上定义的，而这一步恰恰最容易被跳过：

   $2,\;3,\;5,\;5,\;7,\;9.$

   如果直接在未排序的数列上读中位数，会得到 $\tfrac{5+9}{2}=7$，那是错的。

3. 3

   中位数：数据个数为偶数时，取中间两个数的平均值。 $n=6$ 时中间位置是第 3 个和第 4 个：

   $\text{中位数}=\frac{x_{3}+x_{4}}{2}=\frac{5+5}{2}=5.$

   一般来说，$n$ 为偶数时取第 $\tfrac{n}{2}$ 与第 $\tfrac{n}{2}+1$ 个位置，$n$ 为奇数时取唯一的第 $\tfrac{n+1}{2}$ 个位置。这里中间两个数恰好都是 $5$，所以中位数正好是 $5$，没有小数部分。

4. 4

   众数：统计每个值出现的次数。 数一数：$2$ 出现 1 次，$3$ 出现 1 次，$5$ 出现 2 次，$7$ 出现 1 次，$9$ 出现 1 次。最高频次是 $2$，只有 $5$ 达到，所以众数是

   $\text{众数}=5.$

   一组数据可能没有众数（各值频次都相同），也可能有多个众数；这里恰好只有一个。

5. 5

   把三个数放在一起做合理性检验。 平均数 $5.1667$ 略高于中位数 $5$，这正是数据中有一个偏大的值（$9$）把平均值往上拉的典型表现。三个统计量都落在数据范围 $[2,9]$ 之内，这也是必然的。