解方程组 100a + 10b + c = 5.9，400a + 20b + c = 8.4，900a + 30b + c = 10.4，求 a、b、c。

Step-by-step solution

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   别急着硬算，先看结构。 三式的系数分别是 $x=10,20,30$ 处的 $x^{2}$、$x$、$1$，所以这个方程组其实就是"求过 $(10,5.9)$、$(20,8.4)$、$(30,10.4)$ 的 $y=ax^{2}+bx+c$"。由于 $c$ 在三式中的系数都是 $1$，相邻两式相减就能立刻把它消掉。

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   第二式减第一式。

   $(400-100)a+(20-10)b=8.4-5.9\;\Longrightarrow\;300a+10b=2.5\;\Longrightarrow\;30a+b=0.25.$

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   第三式减第二式。

   $(900-400)a+(30-20)b=10.4-8.4\;\Longrightarrow\;500a+10b=2\;\Longrightarrow\;50a+b=0.2.$

   这两个化简后的方程只差在 $a$ 的系数上，所以再减一次就能定出 $a$。

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   依次解出 $a$、$b$、$c$。

   $(50a+b)-(30a+b)=0.2-0.25\;\Longrightarrow\;20a=-0.05\;\Longrightarrow\;a=-0.0025.$

   代入 $30a+b=0.25$：$-0.075+b=0.25$，得 $b=0.325$。再把两者代入原来的第一式：$-0.25+3.25+c=5.9$，得 $c=2.9$。

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   三个方程逐一验算。 取 $a=-0.0025$，$b=0.325$，$c=2.9$：$100(-0.0025)+10(0.325)+2.9=-0.25+3.25+2.9=5.9$ ✓；$400(-0.0025)+20(0.325)+2.9=-1+6.5+2.9=8.4$ ✓；$900(-0.0025)+30(0.325)+2.9=-2.25+9.75+2.9=10.4$ ✓。用线性代数程序解同一个方程组，也得到 $(-0.0025,\,0.325,\,2.9)$。$a$ 为负说明拟合出的抛物线开口向下，这和数据先涨 $2.5$、再只涨 $2.0$ 的趋势是一致的。