袋中有 3 个红球和 5 个白球，一次同时随机摸出两个球。求两个都是红球的概率。

Step-by-step solution

1. 1

   先判断要不要考虑顺序。 两个球是同时摸出的，所以一次结果是一个无序的球对。用组合数来数无序对，可以保证分子分母口径一致；如果两边都按有序对来数，答案完全相同。

2. 2

   数出所有等可能结果。 袋中共 $3+5=8$ 个球，任意两个不同球组成的对是等可能的，所以样本空间有

   $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$

   个元素。

3. 3

   数出有利结果。 两个都是红球，就是从 $3$ 个红球里选 $2$ 个：

   $\binom{3}{2}=3$

   白球除了把分母撑大之外不起别的作用。

4. 4

   相除得到概率。

   $P(\text{both red})=\frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{3}{28}\approx 0.107$

   $\boxed{\dfrac{3}{28}}$

5. 5

   用逐次摸球（乘法公式）再验证一遍。 改成一个一个摸：第一个是红球的概率为 $\tfrac{3}{8}$；在此条件下剩下的 $7$ 个球里只有 $2$ 个红球，所以第二个是红球的概率为 $\tfrac{2}{7}$：

   $\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$

   两法一致，说明我们确实是按不放回来处理的。若改成有放回，答案会是 $\left(\tfrac{3}{8}\right)^2=\tfrac{9}{64}$，明显更大。