连续型随机变量 X 的密度为：当 0 < x ≤ 1 时 f(x) = x，当 1 ≤ x < 2 时 f(x) = 2 - x，其余为 0。求 E(X) 和 D(X)。

Step-by-step solution

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   先确认 $f$ 确实是一个密度函数。 合格的概率密度必须非负，且在全体实数上的积分等于 $1$：

   $\int_0^1x\,dx+\int_1^2(2-x)\,dx=\frac12+\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=\frac12+\left(2-\frac32\right)=\frac12+\frac12=1$

   从几何上看，这是一个底为 $2$、高为 $1$ 的三角形，面积 $\frac12\cdot2\cdot1=1$。先做这一步很省事，却能有效防止某一段被抄错。

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   分段计算 $E(X)$。 密度是分两段定义的，所以期望的积分要在 $x=1$ 处拆开：

   $E(X)=\int_0^1x\cdot x\,dx+\int_1^2x(2-x)\,dx=\int_0^1x^{2}dx+\int_1^2\left(2x-x^{2}\right)dx$

   $=\frac13+\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_1^2=\frac13+\left(\frac43-\frac23\right)=\frac13+\frac23=1$

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   注意这里本可以走捷径。 这个三角形关于 $x=1$ 对称：对 $0\le u\le1$ 有 $f(1-u)=1-u$ 且 $f(1+u)=1-u$。对任何关于某点对称的密度，均值就是那个点，所以根本不用积分就能得到 $E(X)=1$。上面那段积分只是一次验算。

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   再算 $E(X^{2})$，这一个对称性帮不上忙。

   $E(X^{2})=\int_0^1x^{3}dx+\int_1^2x^{2}(2-x)\,dx=\frac14+\left[\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_1^2$

   把中括号在 $2$ 处取值得 $\frac{16}{3}-4=\frac43$；在 $1$ 处得 $\frac23-\frac14=\frac{5}{12}$。所以第二个积分是 $\frac43-\frac{5}{12}=\frac{11}{12}$，于是

   $E(X^{2})=\frac14+\frac{11}{12}=\frac{3}{12}+\frac{11}{12}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$

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   用方差的简便公式。

   $D(X)=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}=\frac76-1^{2}=\frac{7}{6}-\frac{6}{6}=\frac16\approx0.1667$

   标准差是 $\sqrt{1/6}=0.408$。

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   检查结果是否合理。 全部概率都集中在长度为 $2$ 的区间 $(0,2)$ 上，所以标准差必然远小于 $1$；$0.408$ 完全合适。它也比 $(0,2)$ 上均匀分布的 $0.577$ 更小，这正是应该的——三角形密度把概率往中间聚拢，而不是平摊开来。