已知 X 服从均值为 55、标准差为 10 的正态分布，求 P(X < 40.851)。

Step-by-step solution

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   先把这个值标准化成 $z$ 分数。 $z$ 分数衡量的是该值离均值有多少个标准差：

   $z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{40.851-55}{10}=\frac{-14.149}{10}=-1.4149$

   负号说明 $40.851$ 在均值以下，所以概率必然小于 $0.5$——这是对最终答案的一个即时检查。

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   把问题翻译成标准正态分布下的面积。 标准化不改变概率，所以

   $P(X<40.851)=P(Z<-1.4149)=\Phi(-1.4149)$

   其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。

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   求这个累积概率。 用误差函数表示，$\Phi(z)=\tfrac12\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$：

   $\Phi(-1.4149)=0.078549$

   若查印刷的分布表，就在 $\Phi(-1.41)=0.0793$ 与 $\Phi(-1.42)=0.0778$ 之间插值，得 $0.0793-0.49(0.0015)=0.07857$——与精确值很接近，差别来自表格的舍入。

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   写出答案。

   $P(X<40.851)\approx 0.0785\quad\text{（约 }7.85\%\text{）}$

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   检查结果是否合乎情理。 $z$ 约为 $-1.41$，它落在划出最低 $5\%$ 的经典临界值 $-1.645$ 之内、划出最低 $10\%$ 的临界值 $-1.28$ 之外，所以尾部面积必定介于 $5\%$ 与 $10\%$ 之间——而 $7.85\%$ 正是如此 $\checkmark$。由对称性，$P(X>69.149)$ 的值与它完全相同。