五个相互独立的项目各以概率 0.2 发生。求五个全部发生的概率，以及发生个数的期望值。

Step-by-step solution

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   建立模型。 设 $X$ 为五个项目中发生的个数。每个项目以相同的概率 $p=0.2$ 独立发生，这恰好就是二项随机变量的定义：

   $X\sim\mathrm{Bin}(n,p)=\mathrm{Bin}(5,\,0.2).$

   先把模型认出来，两问才都变成一行公式的套用，而不是临时拼凑的推理。

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   (a) 独立事件的概率相乘。 对独立事件，全部发生的概率等于各自概率之积：

   $P(X=5)=0.2\times0.2\times0.2\times0.2\times0.2=0.2^{5}=0.00032.$

   换成百分数是 $0.032\%$——大约 $3125$ 分之一，因为 $0.2=\tfrac15$ 而 $5^{5}=3125$。这里独立性是关键；不独立就不能用乘法公式。

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   用二项分布公式复核。 一般项是 $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$。取 $k=n=5$：

   $\binom{5}{5}(0.2)^{5}(0.8)^{0}=1\times0.00032\times1=0.00032 ✓,$

   说明直接连乘与二项概率公式给出的结果一致。

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   (b) 用二项分布的均值。 二项随机变量的期望是

   $E[X]=np=5\times0.2=1.$

   背后的道理是期望的线性性：把 $X$ 写成 $X=I_{1}+\cdots+I_{5}$，其中第 $j$ 个项目发生时指示变量 $I_{j}$ 取 $1$。于是 $E[I_{j}]=p=0.2$，$E[X]=5\times0.2=1$——而这个论证并不需要独立性。

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   把两个数放在一起理解。 平均恰好有一个项目发生，但五个全部发生却极其罕见，概率只有 $0.00032$。这并不矛盾：分布严重偏向较小的取值，$P(X=0)=0.8^{5}=0.32768$ 与 $P(X=1)=5(0.2)(0.8)^{4}=0.4096$ 就占了约 $74\%$ 的概率。方差 $np(1-p)=0.8$ 也印证了离散程度不大。