15 名受试者在治疗前后各测量一次。治疗前：9.7, 10.8, 16.0, 34.7, 10.9, 45.6, 23.4, 22.9, 17.6, 43.7, 25.4, 17.0, 35.7, 24.7, 36.3。治疗后：7.8, 8.8, 14.8, 33.2, 9.2, 42.5, 21.8, 21.4, 16.4, 41.5, 22.8, 13.0, 37.8, 26.5, 38.2。求两组数据的均值和样本标准差。

Step-by-step solution

1. 1

   先用总和求出两个均值。 治疗前的数据之和为 $374.4$，治疗后为 $355.7$，$n=15$，于是

   $\bar x_{\text{前}}=\frac{374.4}{15}=24.96,\qquad \bar x_{\text{后}}=\frac{355.7}{15}=23.71\overline{3}$

   对题目所印表格的更正： 表里把前测均值写成 $24.99$，但所列的 15 个数平均下来是 $24.96$。后测均值 $23.71$ 倒是对的。这一列永远要自己重新加一遍，别轻信印好的合计。

2. 2

   选用样本（n − 1）公式。 这 15 个人是从更大总体中抽出的一个样本，所以偏差平方和要除以 $n-1=14$：

   $s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^{2}}{n-1}}$

   改用 $n$ 会低估离散程度——这类表格题的解答里，这个错误被反复发现过。

3. 3

   把前测的偏差平方逐个累加。 取 $\bar x=24.96$，各偏差平方大的到 $(9.7-24.96)^2=232.87$、$(45.6-24.96)^2=426.01$，小的到 $(24.7-24.96)^2=0.0676$。它们的总和是

   $\sum(x_i-\bar x)^{2}=1951.816$

4. 4

   算完前测的标准差。

   $s_{\text{前}}=\sqrt{\frac{1951.816}{14}}=\sqrt{139.4154}=11.807$

5. 5

   对后测重复同样的过程。 取 $\bar x=23.713$，偏差平方和为 $2119.197$，于是

   $s_{\text{后}}=\sqrt{\frac{2119.197}{14}}=\sqrt{151.3712}=12.303$

6. 6

   写出结果并作解读。

   $\boxed{\bar x_{\text{前}}=24.96,\ s_{\text{前}}=11.81;\qquad \bar x_{\text{后}}=23.71,\ s_{\text{后}}=12.30}$

   均值下降了约 $1.25$ 个百分点，可离散程度反而略有上升，所以这次治疗并没有让这组人变得更整齐。（作为参考，若改成除以 $15$，总体标准差会是 $11.41$ 和 $11.89$。）

7. 7

   用计算公式再验一遍。 对前测数据 $\sum x=374.4$、$\sum x^{2}=11296.84$，于是 $\sum x^{2}-\tfrac{(\sum x)^2}{n}=11296.84-9345.024=1951.816$——与上面求出的偏差平方和吻合，这一下把均值和平方偏差总和都确认了。