求 0.645、0.656、0.652 这三个测量值的标准差。

Step-by-step solution

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   先算均值。 相加后除以 $3$：

   $\bar x=\frac{0.645+0.656+0.652}{3}=\frac{1.953}{3}=0.651$

   均值除得尽，后面各项偏差一眼就能看出来。

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   求各数据与均值的偏差。

   $0.645-0.651=-0.006,\qquad 0.656-0.651=0.005,\qquad 0.652-0.651=0.001$

   它们的和是 $-0.006+0.005+0.001=0$，这个和恒为零，正好可以顺手验一遍均值算对没有。

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   平方后求和。

   $(-0.006)^2=3.6\times 10^{-5},\quad (0.005)^2=2.5\times 10^{-5},\quad (0.001)^2=1\times 10^{-6}$

   $\sum\left(x_i-\bar x\right)^2=6.2\times 10^{-5}$

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   做除法——分母选哪个是关键。 这一步直接决定答案。如果这三个测量值只是一个样本，就除以 $n-1=2$；如果它们构成整个总体，就除以 $n=3$：

   $s^2=\frac{6.2\times 10^{-5}}{2}=3.1\times 10^{-5},\qquad \sigma^2=\frac{6.2\times 10^{-5}}{3}=2.0667\times 10^{-5}$

   $n$ 这么小的时候两者差别很明显——换算到标准差上大约差 $22\%$。

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   开平方并解读结果。

   $s=\sqrt{3.1\times 10^{-5}}\approx 0.005568,\qquad \sigma=\sqrt{2.0667\times 10^{-5}}\approx 0.004546$

   对同一个量重复测三次，通常按样本处理，所以一般要报告的是 $s\approx 0.00557$。再粗略验一下：数据的极差是 $0.656-0.645=0.011$，$n=3$ 时标准差大致等于极差的一半，符合预期 $\checkmark$。