袋中有十个大小质地相同的球，分别标号 1 到 10。随机取出三个球并记下号码。求 (1) 最小号码是 5 的概率；(2) 最大号码是 5 的概率。

Step-by-step solution

1. 1

   先数样本空间。 $\{1,\ldots,10\}$ 的所有 $3$ 元子集都是等可能的：

   $\binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$

2. 2

   把「最小的是 5」翻译成约束条件。 它表示 $5$ 是这三个号码之一，并且另外两个都比 $5$ 大。比 $5$ 大的号码是 $6,7,8,9,10$——一共五个。

3. 3

   （1）计数再相除。

   $\binom{5}{2}=10\quad\Longrightarrow\quad P(\min=5)=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}\approx 0.0833$

4. 4

   再翻译「最大的是 5」。 现在 $5$ 必须被取中，而另外两个必须比它小，只能从 $1,2,3,4$ 里选——候选只有四个。

5. 5

   （2）计数再相除。

   $\binom{4}{2}=6\quad\Longrightarrow\quad P(\max=5)=\frac{6}{120}=\frac{1}{20}=0.05$

   $\boxed{P(\min=5)=\tfrac{1}{12},\qquad P(\max=5)=\tfrac{1}{20}}$

6. 6

   检查最小值的整个分布。 当 $\min=k$ 时计数是 $\binom{10-k}{2}$，对 $k=1,\ldots,8$ 求和得 $\binom92+\binom82+\cdots+\binom22=36+28+21+15+10+6+3+1=120$ ✓，正好等于样本空间的大小。两个答案不对称是应该的：比 $5$ 大的号码比比它小的多，所以 $5$ 当最小值的可能性大于当最大值。