有 50% 的消费者更愿意在网上购买电子产品。随机抽取 8 位消费者，求其中愿意网购的人数 (a) 恰好为五、(b) 多于五、(c) 至多为五 的概率。

Step-by-step solution

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   建立二项模型，并利用 p = 0.5 带来的便利。 这里 $X\sim B(8,0.5)$，于是

   $P(X=k)=\binom{8}{k}(0.5)^{k}(0.5)^{8-k}=\frac{\binom{8}{k}}{2^{8}}=\frac{\binom{8}{k}}{256}.$

   因为 $p=0.5$，$p$ 与 $1-p$ 的幂合并成了一个 $2^{-8}$，所以每个概率都只是一个二项式系数再除以 $256$。

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   先把要用的系数写出来。 杨辉三角的第 $8$ 行是

   $1,\ 8,\ 28,\ 56,\ 70,\ 56,\ 28,\ 8,\ 1,$

   它们相加正好是 $256$，理应如此。

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   (a) 恰好为五。

   $P(5)=\frac{\binom{8}{5}}{256}=\frac{56}{256}=0.21875\approx 0.219.$

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   (b) 多于五。 「多于五」不包含五本身，所以要把 $k=6,7,8$ 三项加起来：

   $P(X>5)=\frac{28+8+1}{256}=\frac{37}{256}=0.14453\approx 0.145.$

   这里的措辞很关键：要是把 $k=5$ 也算进来，得到的就变成 $0.363$ 了。

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   (c) 至多为五，用对立事件算。 「至多为五」正是「多于五」的对立事件，所以不需要重新求和：

   $P(X\le 5)=1-P(X>5)=1-\frac{37}{256}=\frac{219}{256}=0.85547\approx 0.855.$

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   检查算术，顺便看看对称性。 两个互补的答案相加 $0.145+0.855=1.000$ ✓。另外 $p=0.5$ 让分布关于均值 $np=4$ 对称，所以 $P(X=5)=P(X=3)$、$P(X>5)=P(X<3)$——这是快速发现系数抄错的好办法。