求 z 统计量为 2.1 时的双尾 p 值。

Step-by-step solution

1. 1

   先说清 p 值到底量的是什么。 它是在原假设为真的前提下，得到一个与观测值同样极端或更极端的检验统计量的概率。对双尾检验来说，「极端」指的是往任意一边远离零。

2. 2

   求右侧尾部面积。 由标准正态分布，

   $P(Z>2.1)=1-\Phi(2.1)=1-0.982136=0.017864.$

   查表得 $\Phi(2.1)=0.9821$；用误差函数算出的精确值是 $0.9821356$。

3. 3

   乘以 2，把另一侧尾部算进来。 由对称性，$P(Z<-2.1)$ 同样等于 $0.017864$，所以

   $p=2\times 0.017864=0.035729\approx 0.0357.$

   忘了乘 2 是这里最常犯的一个错——那会让结果显得比实际显著一倍。

4. 4

   与常用的显著性水平作比较。 因为 $0.0357<0.05$，结果在 $5\%$ 水平上显著；但 $0.0357>0.01$，所以在 $1\%$ 水平上不显著。等价地说，$2.1$ 超过了双尾临界值 $1.96$，却没够到 $2.576$。

5. 5

   把结论说准确。 在 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$。$p$ 值是「在 $H_0$ 成立的条件下出现这么极端的数据」的概率——不是「$H_0$ 为真」的概率，后者是另一回事，也是被误用得最多的一句话。