一项交通研究预测十字路口、Y 形路口和三岔路口的事故数之比为 3:2:1。在车流量相同的路口共发生 200 起事故，实际观测到 116、60 和 24 起。请对这个预测做卡方检验。

Step-by-step solution

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   先选对检验方法。 这里只有一个分类变量（路口类型），要和一个理论分布做比较，而不是两个变量交叉列表。所以它是卡方拟合优度检验，不是独立性检验。这个区分很要紧，因为它决定了自由度取 $k-1$ 而不是 $(r-1)(c-1)$。

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   按比例算出期望频数。 总数是 $116+60+24=200$，而 $3:2:1$ 把整体分成六份：

   $E_1=200\cdot\tfrac{3}{6}=100,\qquad E_2=200\cdot\tfrac{2}{6}=66.\overline{6},\qquad E_3=200\cdot\tfrac{1}{6}=33.\overline{3}.$

   所有期望频数都大于 $5$，所以用卡方近似是稳妥的。计算时保留精确分数 $\tfrac{200}{3}$ 和 $\tfrac{100}{3}$，不要用四舍五入后的 $66.67$ 和 $33.33$，否则舍入误差会渗进统计量里。

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   逐格算出对 $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$ 的贡献。

   $\frac{(116-100)^2}{100}=\frac{256}{100}=2.56,\qquad \frac{\left(60-\tfrac{200}{3}\right)^2}{\tfrac{200}{3}}=\frac{400/9}{200/3}=\frac{2}{3},\qquad \frac{\left(24-\tfrac{100}{3}\right)^2}{\tfrac{100}{3}}=\frac{784/9}{100/3}=\frac{196}{75}.$

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   把它们加起来。 通分到公分母 $75$：

   $\chi^2=\frac{192}{75}+\frac{50}{75}+\frac{196}{75}=\frac{438}{75}=\frac{146}{25}=5.84.$

   这个值恰好就是 $5.84$，不是四舍五入的结果。注意三岔路口那一类期望频数最小，虽然它的绝对偏差比十字路口的超出量还小，贡献却最大（$2.613$）——这正是 $1/E$ 这个权重在起作用。

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   和临界值比较。 共有 $k=3$ 类，所以 $df=k-1=2$。$\alpha=0.05$ 时的临界值是 $\chi^2_{0.05,2}=5.991$。$df=2$ 时 $p$ 值还有个闭式表达：$p=e^{-\chi^2/2}=e^{-2.92}\approx 0.054$。

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   给出结论。 因为 $5.84<5.991$（等价地 $p\approx 0.054>0.05$），我们不能拒绝原假设。观测频数与预测的 $3:2:1$ 比例是相容的——不过只是勉强通过，所以再收集一份更大的样本是值得的。