盒子里有 6 个红球和 6 个蓝球，从中不放回地随机取出 6 个球。至少有一个是蓝球的概率是多少？

Step-by-step solution

1. 1

   立刻转到对立事件上。 「至少有一个蓝球」要分别数出恰好 $1,2,3,4,5,6$ 个蓝球的情形——六次计数。而它的对立事件只有一种情形：一个蓝球都没有。所以我们用

   $P(\text{至少一个蓝球})=1-P(\text{没有蓝球})$

2. 2

   数出样本空间。 一共 $6+6=12$ 个球，取法不计顺序，所以取六个球的方法数是

   $\binom{12}{6}=\frac{12!}{6!\,6!}=924$

3. 3

   数出对立事件的有利结果。 「没有蓝球」意味着取出的六个球全是红球——而红球恰好只有 $6$ 个，所以唯一的办法就是把全部红球取走：

   $\binom{6}{6}=1$

   这就是答案为什么会离 $1$ 那么近：$924$ 种取法里只有一种「坏」取法。

4. 4

   拼出概率。

   $P(\text{没有蓝球})=\frac{1}{924},\qquad P(\text{至少一个蓝球})=1-\frac{1}{924}=\frac{923}{924}$

5. 5

   化成小数并做合理性检查。 $\dfrac{923}{924}=0.998918\ldots\approx99.89\%$。这个结果是可信的：把半盒球都取出来还能把六个蓝球全躲开，只有那一种「全红」取法才行，所以接近必然正是我们该预期的 ✓。

6. 6

   用直接求和交叉验证。 把蓝球数为 $1$ 到 $6$ 的超几何概率相加得 $\frac{36+225+400+225+36+1}{924}=\frac{923}{924}$，与对立事件的结果一致 ✓。