盒子里有 15 件产品，其中 3 件次品、12 件正品。从中不放回地随机取出 5 件，求 (1) 恰好有 2 件次品的概率，(2) 至少有 2 件次品的概率。

Step-by-step solution

1. 1

   把样本空间取成「无序的组合」。 不计顺序地从 $15$ 件里取 $5$ 件，共有

   $\binom{15}{5}=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{5!}=3003$

   种等可能结果。因为是不放回抽取，正确的计数工具是组合数，而不是乘方。

2. 2

   (1) 数出有利的取法。 恰好两件次品，就是从 $3$ 件次品里取 $2$ 件、从 $12$ 件正品里取 $3$ 件：

   $\binom{3}{2}\binom{12}{3}=3\times 220=660$

3. 3

   相除并约分。

   $P(\text{恰好 }2\text{ 件})=\frac{660}{3003}=\frac{20}{91}\approx 0.2198$

   （两个数都能被 $33$ 整除。）

4. 4

   (2) 把「至少 2 件」的情形列全。 由于盒子里总共只有 $3$ 件次品，「至少 $2$ 件」就是恰好 $2$ 件或恰好 $3$ 件——只有两种情形，所以不必用对立事件：

   $\binom{3}{3}\binom{12}{2}=1\times 66=66$

5. 5

   把两个互斥情形相加。

   $P(\text{至少 }2\text{ 件})=\frac{660+66}{3003}=\frac{726}{3003}=\frac{22}{91}\approx 0.2418$

   $\boxed{P(\text{恰好 }2\text{ 件})=\tfrac{20}{91},\qquad P(\text{至少 }2\text{ 件})=\tfrac{22}{91}}$

6. 6

   检验整个分布之和是否为 1。 次品件数的四种可能分别给出 $\binom{3}{0}\binom{12}{5}=792$、$\binom{3}{1}\binom{12}{4}=1485$、$660$ 和 $66$。它们的总和是 $792+1485+660+66=3003=\binom{15}{5}$ ✓，这就把上面每一个计数都验证了一遍。