25 位顾客的年龄依次为 19, 33, 35, 28, 32, 31, 30, 15, 29, 11, 36, 22, 43, 48, 27, 25, 22, 32, 35, 33, 36, 43, 42, 43, 48。用 Tukey 法求 Q1 和 Q3。

Step-by-step solution

1. 1

   先把数据排序。 任何一种四分位数算法都从有序数列开始：

   $11,15,19,22,22,25,27,28,29,30,31,32,32,33,33,35,35,36,36,42,43,43,43,48,48$

2. 2

   求中位数。 $n=25$ 为奇数，中位数就是第 $13^{\text{th}}$ 个值：

   $\text{中位数}=32$

3. 3

   按 Tukey 的方式一分为二。 各种算法的分歧正是出在这一步：Tukey 铰值法把中位数同时保留在两半里，因此每一半都有 $13$ 个数：

   下半部分：$11,15,19,22,22,25,27,28,29,30,31,32,32$

   上半部分：$32,33,33,35,35,36,36,42,43,43,43,48,48$

4. 4

   分别取两半的中位数。 每半各有 $13$ 个数，所以每个四分位数都恰好是唯一的第 $7^{\text{th}}$ 个值——不需要取平均：

   $Q_1=27,\qquad Q_3=36$

   $\boxed{Q_1=27,\quad Q_3=36}$

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   与软件常用的排除法对比一下。 把中位数从两半中都去掉，每半只剩 $12$ 个数，于是每个四分位数都变成两个数的平均：

   $Q_1=\frac{25+27}{2}=26,\qquad Q_3=\frac{36+42}{2}=39$

   这就是为什么计算器可能报出 $26$ 和 $39$，而 Tukey 法的答案是 $27$ 和 $36$。两者都不算错——它们只是不同的约定，考题必须讲清楚要的是哪一种。

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   核对大小关系。 两种算法都满足 $Q_1<\text{中位数}<Q_3$（$27<32<36$）✓；而且 Tukey 法的四分位距 $36-27=9$ 比排除法的 $39-26=13$ 更窄，这也在意料之中——把中位数算进去，会把两个铰值都往中心拉。