十五名参与者在训练计划前后各称重一次。训练前（kg）：55.60、56.80、64.80、100.50、72.10、100.40、73.80、77.70、64.00、108.60、76.00、77.00、84.75、67.85、87.24。训练后（kg）：54.20、55.30、62.10、100.30、71.40、98.70、71.10、73.00、63.10、104.80、72.45、69.00、88.78、70.24、88.57。求两组数据各自的均值与样本标准差。

Step-by-step solution

1. 1

   把每一列求和，再除以 n = 15。 两个总和分别是 $1167.14$ kg 和 $1143.04$ kg，于是

   $\bar x_{\text{训练前}}=\frac{1167.14}{15}=77.809\ \text{kg},\qquad \bar x_{\text{训练后}}=\frac{1143.04}{15}=76.203\ \text{kg}$

2. 2

   选用样本的公式。 这十五个人是一个样本，所以离差平方和要除以 $n-1=14$：

   $s=\sqrt{\frac{\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}}{n-1}}$

   用 $n$ 作分母会低估离散程度——这是这类数据表的报告里最常见的错误。

3. 3

   算训练前这一组的离散程度。 各个离差平方从 $(55.60-77.809)^2=493.3$ 一直到 $(108.60-77.809)^2=948.1$，合计

   $\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}=3556.77$

   于是

   $s_{\text{训练前}}=\sqrt{\frac{3556.77}{14}}=\sqrt{254.055}=15.939\ \text{kg}$

4. 4

   算训练后这一组的离散程度。 这里 $\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}=3668.24$，所以

   $s_{\text{训练后}}=\sqrt{\frac{3668.24}{14}}=\sqrt{262.017}=16.187\ \text{kg}$

5. 5

   把这四个数报出来。

   $\boxed{\text{训练前：}\bar x=77.81\ \text{kg},\ s=15.94\ \text{kg};\qquad \text{训练后：}\bar x=76.20\ \text{kg},\ s=16.19\ \text{kg}}$

6. 6

   解读结果，同时说清这些数字说明不了什么。 均值下降了 $1.61$ kg，而离散程度略有上升，所以这个群体并没有变得更整齐。更要紧的是：这些只是描述性统计量；由于数据是配对的（同一批人前后各测一次），要判断这 $1.61$ kg 的下降是否具有统计学意义，必须对十五个差值做配对样本 $t$ 检验，而不是去比较这两个标准差。