有 50% 的消费者更愿意在网上购买电子产品。随机抽取 8 名消费者，求其中愿意网购的人数 (a) 恰好为五人、(b) 多于五人、(c) 至多五人的概率。

Step-by-step solution

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   先认出这是什么分布。 八名消费者彼此独立，每人要么倾向网购、要么不倾向，而且概率固定为 $p = 0.5$：这就是 $n = 8$、$p = 0.5$ 的二项分布。恰好有 $k$ 人的概率是

   $P(k) = \binom{8}{k}(0.5)^k(0.5)^{8-k} = \binom{8}{k}\frac{1}{256}$

   因为 $p = 0.5$，两个幂合并成同一个常数 $\tfrac{1}{2^8} = \tfrac{1}{256}$，于是整道题就只剩下数组合数这件事了。

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   (a) 恰好五人。 $\binom{8}{5} = \dfrac{8!}{5!\,3!} = 56$，所以

   $P(5) = \frac{56}{256} = 0.21875 \approx 0.219$

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   (b) 多于五人。 「多于五人」指 $6$、$7$、$8$ 这三种情况，要把三项加起来。$\binom{8}{6} = 28$，$\binom{8}{7} = 8$，$\binom{8}{8} = 1$：

   $P(X > 5) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256} = 0.144531 \approx 0.145$

   注意 $X > 5$ 是不含 $5$ 的——一不小心把它算进去，就会平白多出 $0.219$。

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   (c) 至多五人，用对立事件来算。 「至多五人」就是 $X \le 5$，也就是除 $X > 5$ 之外的全部情况：

   $P(X \le 5) = 1 - P(X > 5) = 1 - \frac{37}{256} = \frac{219}{256} = 0.855469 \approx 0.855$

   这比把 $k = 0,\ldots,5$ 这六项逐个加起来快得多。

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   检查各部分是否自洽。 把 $2^8$ 种结果全加起来：$\binom{8}{0}+\cdots+\binom{8}{8} = 256$，所以全部概率之和恰好为 $1$ ✓。同样 $P(X \le 5) + P(X > 5) = \tfrac{219}{256} + \tfrac{37}{256} = 1$ ✓，而 $\tfrac{219}{256}$ 也能由直接求和 $1+8+28+56+70+56 = 219$ 得到印证。

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   再从分布形状上判断合理性。 当 $p = 0.5$ 时，分布关于均值 $np = 4$ 对称，所以 $P(5)$ 理应等于 $P(3)$：确实 $\binom{8}{3} = 56$ ✓。又因为一半以上的概率质量落在 $4$ 及以下，$P(X \le 5)$ 取到 $0.855$ 这个量级正好合适。