Statistics
Перетащите или нажмите , чтобы добавить изображения
Real statistics questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
Ответ: вероятность быть дальтоником — 0,02625; вероятность быть мужчиной среди дальтоников — 20/21 ≈ 0,952.
Если письмо содержит слово «lottery», вероятность спама составляет 7/12 ≈ 58,3%. Подробный разбор с формулой Байеса и законом полной вероятности.
Ответы: 0.219, 0.145 и 0.855. При n = 8 и p = 0.5 каждый исход весит 1/256, поэтому числа сочетаний 56, 37 и 219 сразу дают все три вероятности.
Вероятность того, что менее четырёх из 10 взрослых не доверяют газетам, составляет примерно 0,022 при p = 0,66. Решение через биномиальное распределение.
Для 8 потребителей при p = 0,5: вероятность ровно 5 — 0,219, больше 5 — 0,145, не более 5 — 0,855. Используется биномиальная формула и треугольник Паскаля.
Значение хи-квадрат 5,84 при 2 степенях свободы меньше критического 5,991, поэтому гипотеза о соотношении 3:2:1 не отвергается на уровне значимости 0,05.
Средние 2,43 и 1,86 различаются на 0,57. Объединяя SS = 17,71 и 10,86 по 12 степеням свободы, получаем s = 1,543, значит, d = 0,57/1,543 = 0,37.
Индекс эффекта d равен 1,33 — это крупный эффект. Сначала вычисляется SS = 351 - 48²/8 = 63, затем s = 3, и разность средних делится на s, а не на стандартную ошибку.
Если оба независимых события по 73% — вместе это 0,73² = 53,29%; хотя бы одно — 1 - 0,27² = 92,71%. Ответ зависит от трактовки слова «совместная».
У набора B стандартное отклонение 3,29, у A — 2,35, значит, B более вариативен. При одинаковых средних и размерах решает сумма квадратов отклонений: 184 против 94.
Ответ: 0,456. Условие «чернокожая семья» сужает выборку до 250, поэтому делим 114 на 250, а не на 1438.
Ответ: 0,535. При условии «пропущенное поколение» знаменатель — 99, а белых семей среди них 53, получаем 53/99 ≈ 0,535.
Доход — объясняющая, счастье — откликающаяся. Доли 12,8/61,4/25,8, 13,3/64,0/22,7 и 13,2/58,8/28,0 почти совпадают — связь между доходом и счастьем слаба.
95% доверительный интервал для среднего: (3,94; 13,72). Подсчитаны стандартная ошибка 2,48, t-критическое 1,97 и запас 4,89.
Средние равны 70.43, 69.70 и 78.54 при выборочных СКО 20.67, 20.17 и 13.80. Двое студентов получили 0 в первых двух столбцах, раздув размах до 90 и 92.
Для 21 значения около 2.4 среднее равно 2.4405, медиана 2.44, размах 0.16, а s = 0.0432. Набор тримодален: 2.40, 2.43 и 2.49. Все пять характеристик по шагам.
Ответы: 63, 15 и 39. Метод «шаров и перегородок» применяется к каждому виду отдельно, а результаты перемножаются, так как выборы конфет и печений независимы.
Среднее семи расходов — 2,179,29, что выше оценки 2,110. Чтобы среднее восьми стало 2,110, восьмой расход должен быть 1,625.
Для низкой группы частоты по баллам 1–5: 3, 5, 4, 2, 1; для высокой — 0, 1, 3, 6, 5. В каждой колонке сумма равна 15 — это проверка на ошибку пересчёта.
Максимум 248 — выброс, так как превышает верхнюю границу 116,67 по правилу 1,5× IQR. Среднее 48,00 больше медианы 32,50 — данные скошены вправо.
Нормировка даёт A = 2. Вероятность P{2X−Y<1} = 7/12, F(1/2, 1/4) = 19/64, F(1/2, −1) = 0.
Нормировка даёт c = 3. Маргинальные плотности: 3x² на (0,1] и (3/2)(1−y²) на [0,1]. Их произведение не совпадает с совместной, значит, X и Y зависимы.
Для f(x, y) = c x²y на x² ≤ y ≤ 1 получаем c = 21/4. Маргинальные плотности: (21/8)x²(1 - x⁴) на [-1,1] и (7/2)y^(5/2) на [0,1]. X и Y зависимы.
Средние массы: 77,81 кг до и 76,20 кг после тренировки. Выборочные стандартные отклонения (деление на n-1=14): 15,94 и 16,19 кг.
Среднее число отсутствующих — 2,23, дисперсия — 2,36, вероятность отсутствия более двух — 0,52. Используется формула E(X^2) − μ^2.
Для f(x)=x на (0,1] и 2-x на [1,2) получаем E(X)=1, D(X)=1/6. Симметрия даёт ожидание сразу, а E(X^2)=7/6 позволяет найти дисперсию.
Среднее значение — 679,63 доллара, медиана — 689,50, мода — 699. Сумма цен 5437, а среднее 670,63 — это ошибка перестановки цифр.
Ответ: среднее 31/6 ≈ 5,17; медиана 5; мода 5. Суммируем и делим для среднего, сортируем и берём средние значения для медианы, считаем повторения для моды.
Среднее равно 17/3 ≈ 5,67, медиана — 5,5, моды нет: каждое число встречается один раз.
Среднее расходов — 2179,29$, что выше оценки 2110$. Чтобы среднее восьми значений стало 2110$, восьмое значение должно быть 1625$.
Среднее больше медианы: медиана равна 49, а среднее — 49 + 22k/N, то есть несколько высоких баллов 80 поднимают среднее строго выше медианы.
Среднее значение меньше медианы: медиана всегда 76, а среднее — 76 − 19k/N. Низкие баллы понижают среднее, но не влияют на медиану.
Среднее значение меньше медианы: медиана равна 82,5, а среднее — 82,5 − 19k/N. Низкие баллы 54 уменьшают среднее, не влияя на медиану.
Средние счета: 47,33 $ за год, 43,00 $ за январь–июнь и 50,25 $ за апрель–ноябрь. Меняются только пределы суммы, а не сама формула.
Вариант камень-ножницы-бумага: оптимальная стратегия — 1/4 камень, 1/8 бумага, 5/8 ножницы. Значение симметричной игры — 0.
Интервал: от -0,48 до 4,48. Для n = 3 критическое t — 4,303, стандартная ошибка — 1/√3, погрешность — 2,48. Ни один из вариантов не совпадает.
Время выполнения теста распределено нормально: среднее 58 минут, стандартное отклонение 12. Находим момент, к которому справляются 90% студентов, через z для 90-го процентиля.
Вероятность того, что X > 58,253 при X ~ N(55, 10), составляет примерно 0,3725. Z-значение — 0,3253, левая площадь — 0,62752, правая — 0,37248.
Вероятность того, что X < 40,851 при X ~ N(55, 10), составляет примерно 0,0785. Используется стандартизация: z = (40,851 − 55)/10 = −1,4149.
Ответ: 20 маршрутов. Каждый путь — это 3 шага на восток и 3 на юг в любом порядке, всего C(6,3) способов выбрать позиции для шагов на восток.
t-статистика равна -2,83: среднее 6, стандартное отклонение 3, стандартная ошибка 1,06, отрицательный знак сохраняется.
При N = 8, ΣX = 48 и ΣX² = 351 среднее равно 6, s = 3, t = 3.771 при 7 степенях свободы (p = 0.007). Нулевая гипотеза отвергается на уровнях .05 и .01, d Коэна = 1.33.
Эта-квадрат равен 43.14/86.57 = 0.498, около 0.50. Считаем SS общую и межгрупповую через суммы X и X² по группам, затем получаем F(2, 18) = 8.94, p = 0.002.
Ответ: p ≈ 9,96×10⁻³². Статистика χ² переводится в z-оценку 11,72, затем по нормальному распределению находится вероятность в хвосте.
Среднее снижение ИМТ у 15 человек — 0.86; парный t-критерий даёт t = 2.363 при 14 степенях свободы и p = 0.033, значит уменьшение значимо на уровне 5%. Полное решение.
Стандартное отклонение генеральной совокупности для 17 чисел со средним 12 и суммой квадратов отклонений 94 — это примерно 2,35.
Ответ — 15796/34220 ≈ 46,2%. Открытая рука из 5 карт не влияет: три карты ведут себя как случайные из всей 60-карточной колоды.
Ответ: вероятность того, что все 5 событий произойдут — 0,00032 (0,032%), а математическое ожидание числа произошедших — 1.
Ответ: вероятность хотя бы одного попадания — 0,72, ровно одного — 0,47. Используется правило дополнения и сумма вероятностей несовместимых событий.
Вероятность равна 3/28, около 10.7%. Считаем C(3,2) = 3 благоприятных пары против C(8,2) = 28 возможных либо перемножаем 3/8 и 2/7 по шагам.
Ответ: 791/792 ≈ 99,87%. При случайном выборе 5 шаров из 5 красных и 7 синих хотя бы один синий почти наверняка попадётся.
Ответ: 923/924, или примерно 99,89%. Только одна из 924 возможных выборок не содержит синих шаров, поэтому правило дополнения даёт ответ сразу.
Из колоды в 60 карт (5 помечены A, 23 помечены B) тянут 5 карт: вероятность получить хотя бы одну каждого вида равна 1748230/5461512 = 32.01%. Решение через включения-исключения.
Ответ: 13395/34220 или примерно 39,14%. Используется правило дополнения: 1 - C(51,3)/C(60,3), где C(51,3) — число способов взять только неотмеченные.
Вероятность выпадения хотя бы одной шестёрки при восьми бросках игральной кости равна 1 - (5/6)^8 ≈ 0,7674.
Вероятность равна 887/924 = 0.96. Считать «хотя бы 2» напрямую — это пять случаев, поэтому переходим к противоположному событию: 0 или 1 красный дают лишь 37 исходов из 924.
Вероятность того, что единица выпадет не более трёх раз при четырёх бросках кубика, равна 1295/1296 ≈ 0,99923.
Вероятность вытянуть короля из стандартной колоды 52 карт составляет 1/13, то есть примерно 0,0769 или 7,69%.
Вероятность того, что тройка выпадет ровно один раз из пяти вытаскиваний с возвращением, равна 80/243 (примерно 0,329).
Вероятность выбрать ровно 2 бракованных из 5 предметов — 20/91, не менее 2 — 22/91. Используется формула гипергеометрического распределения.
Вероятность выбрать пустую клетку — 15/22 или примерно 68,18 %. Делим 30 на 44, сокращаем дробь на 2, переводим в проценты.
Ответ: 1/6 ≈ 0,1667, или 16,67%. У честного кубика шесть равновероятных граней, только одна из которых — 6.
Второе по величине число из пяти вытянутых с возвращением равно 3 с вероятностью 131/243.
При случайном выборе 3 шаров из 10 вероятность min=5 равна 1/12, а max=5 — 1/20. Ответ получен через перебор вариантов и деление на общее число троек.
Для точек (10, 2.9), (20, 4.0), (30, 4.9) получаем y = −0.001x² + 0.14x + 1.6 и R² = 1: три точки лежат ровно на параболе, поэтому все остатки нулевые.
По методу Тьюки: Q₁=27, Q₃=39, IQR=12. Если медиану не включать — Q₁=26,5, Q₃=40,5, IQR=14. Пример на 25 возрастах, объясняющий разницу.
Выборочное стандартное отклонение этих шести чисел — примерно 0,249. Основной вклад в разброс вносит значение 6,19, сильно отличающееся от среднего.
Седьмая цена должна быть 19 400 ₽. Необходимая сумма — 129 500 ₽ (18 500 × 7), уже есть 110 100 ₽, не хватает 19 400 ₽.
Решение: a = −0.0025, b = 0.325, c = 2.9. Вычитание соседних уравнений убирает c и оставляет 30a + b = 0.25 и 50a + b = 0.2, откуда 20a = −0.05.
Преобразованная формула: m = x − zd. Сначала умножаем обе части на стандартное отклонение, затем выражаем m; при z > 0 значение лежит выше среднего.
Выборочное стандартное отклонение s ≈ 0.2309, для генеральной совокупности σ ≈ 0.1886. Среднее 2.7667 периодическое, поэтому лишние цифры сохраняем.
Для генеральной совокупности отклонение равно 1,72, для выборки — 1,92. Среднее 5,2, сумма квадратов отклонений 14,8; остаётся выбрать делитель n или n − 1.
Генеральная сигма равна 0.0125, выборочное s — 0.0132, при среднем 4.25 и сумме квадратов всего 0.0014. Запятые в исходных данных десятичные, а не разделители.
Выборочное стандартное отклонение s ≈ 0.005568, для генеральной совокупности σ ≈ 0.004546. Среднее равно ровно 0.651, отклонения: −0.006, +0.005 и +0.001.
Выборочные стандартные отклонения равны 11,81 и 12,30 процентного пункта при средних 24,96 и 23,71. Напечатанное среднее «до» 24,99 ошибочно.
Стандартная ошибка равна 1,414, поэтому ни один из предложенных вариантов не подходит. SS = 60 − 100/5 = 40 даёт s = 3,162, а деление на √5 оставляет √2.
Стандартная ошибка равна 1.581. Считаем SS = 46 − 8²/4 = 30, делим на n − 1 = 3 и получаем s = 3.162, затем делим на √4 = 2 и приходим к 1.581.
Метод Тьюки оставляет медиану в обеих половинах, поэтому в каждой по 13 значений, а квартили — их седьмые элементы: 27 и 36, а не 26 и 39 из исключающего метода.
p-значение примерно равно 0,0357. На правый хвост за z = 2,1 приходится 0,0179 площади, а двусторонний критерий удваивает её ради зеркального хвоста ниже −2,1.
Это значит, что 95% построенных так интервалов накрывают истинное среднее. Интервал от 14 до 17 либо содержит μ, либо нет; уровень описывает не его, а метод.
По формуле z = (x − среднее)/σ получаем −2,133 для самого молодого клиента и 1,580 для самого старшего. Несимметричность этих оценок указывает на левостороннюю скошенность.