В опросе записаны возраста 25 клиентов: 20, 32, 35, 28, 32, 31, 30, 15, 28, 12, 39, 23, 43, 47, 27, 26, 23, 32, 36, 33, 35, 42, 42, 43, 47. Найдите первый и третий квартиль по методу Тьюки и сравните со значениями при исключении медианы.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала отсортируем данные — любое правило для квартилей опирается на позиции, поэтому порядок важен.

   $12,\ 15,\ 20,\ 23,\ 23,\ 26,\ 27,\ 28,\ 28,\ 30,\ 31,\ 32,\ \underline{32},\ 32,\ 33,\ 35,\ 35,\ 36,\ 39,\ 42,\ 42,\ 43,\ 43,\ 47,\ 47$

2. 2

   Найдём медиану. При $n=25$ (нечётное число) медиана — это единственное среднее значение, занимающее позицию $\frac{25+1}{2}=13$:

   $M=32$

   Именно здесь расходятся два подхода: медиана — реальное значение из данных, поэтому можно по-разному решать, включать ли её в нижнюю и/или верхнюю половину.

3. 3

   Применим правило Тьюки: медиана включается в обе половины. Так называемые «шарниры Тьюки» определяются как медианы нижней и верхней половин, включая общую медиану. Тогда нижняя половина — это первые $13$ значений, а верхняя — последние $13$:

   $\text{нижняя: } 12,\,15,\,20,\,23,\,23,\,26,\,\underline{27},\,28,\,28,\,30,\,31,\,32,\,32$

   $\text{верхняя: } 32,\,32,\,33,\,35,\,35,\,36,\,\underline{39},\,42,\,42,\,43,\,43,\,47,\,47$

   В каждой половине нечётное число элементов, поэтому шарнир — это снова единственное среднее значение, $7$-е из $13$:

   $Q_1=27,\qquad Q_3=39$

4. 4

   Сравним с исключающим подходом, который используют большинство калькуляторов и электронных таблиц. Если медиану убрать из обеих половин, останется по $12$ значений, и тогда квартиль — это среднее двух соседних:

   $Q_1=\frac{26+27}{2}=26.5,\qquad Q_3=\frac{39+42}{2}=40.5$

   Оба ответа считаются «правильными» — это разные определения, а не ошибка в вычислениях. Различие возможно только при нечётном $n$, когда медиана совпадает с элементом выборки.

5. 5

   Вычислим интерквартильный размах по каждому правилу и отметим разницу.

   $\text{IQR}_{\text{Тьюки}}=39-27=12,\qquad \text{IQR}_{\text{исключающий}}=40.5-26.5=14$

   Включение медианы сдвигает оба шарнира к центру, поэтому по Тьюки интерквартильный размах всегда такой же или меньше. Всё, что строится на IQR — «усы» на диаграмме размаха, границы выбросов $1.5\,\text{IQR}$ — тоже изменится, поэтому в отчёте важно указывать выбранную методику.

6. 6

   Проверим границы выбросов, чтобы увидеть практический эффект. По значениям Тьюки границы: $27-1.5(12)=9$ и $39+1.5(12)=57$; по исключающему подходу — $26.5-1.5(14)=5.5$ и $40.5+1.5(14)=61.5$. Ни одно из $25$ значений (минимум $12$, максимум $47$) не выходит за пределы ни по одному правилу, так что в этом наборе выбор метода не влияет на вывод — но при более длинном «хвосте» разница может появиться.