Два независимых события, вероятность каждого — 73%. Какова их совместная вероятность?

Step-by-step solution

1. 1

   Следует отметить, что условие задачи неоднозначно: слово «совместная» может означать вероятность того, что оба события произойдут, либо что произойдёт хотя бы одно из них. Эти варианты дают разные ответы, и разница между ними здесь почти $40$ процентных пунктов — поэтому сначала нужно уточнить, что имеется в виду. Однозначно нельзя просто сложить вероятности: $73\%+73\%=146\%$ — это невозможно, так как вероятность не может превышать $1$.

2. 2

   Первое толкование — оба события происходят. Для независимых событий вероятности перемножаются:

   $P(A\text{ и }B)=P(A)\times P(B)=0.73\times0.73=0.5329=53.29\%$

   Требование одновременного наступления двух событий всегда строже, чем для одного, поэтому ответ должен быть меньше $73\%$ — что и подтверждается.

3. 3

   Второе толкование — происходит хотя бы одно событие. Используем противоположное событие: «хотя бы одно» не происходит только если оба не произошли, а вероятность того, что каждое не произойдёт, равна $1-0.73=0.27$:

   $P(\text{ни одно})=0.27\times0.27=0.0729$

   $P(\text{хотя бы одно})=1-0.0729=0.9271=92.71\%$

   Требование хотя бы одного из двух событий всегда легче, чем для одного, поэтому ответ должен быть больше $73\%$ — что и подтверждается.

4. 4

   Проверим оба ответа между собой. Четыре несовместных исхода должны в сумме давать $1$: оба $=0.5329$, только первое $=0.73\times0.27=0.1971$, только второе $=0.1971$, ни одно $=0.0729$. Складываем: $0.5329+0.1971+0.1971+0.0729=1.0000$ — всё верно. Отсюда видно, что ровно одно событие происходит с вероятностью $0.3942=39.42\%$.

5. 5

   Отметим, почему важна независимость. Все приведённые формулы справедливы только если события не влияют друг на друга. Если бы они были полностью зависимы, то вероятность «оба» была бы $73\%$, а «хотя бы одно» — тоже $73\%$; если бы были несовместимы, то «оба» — $0$. Независимость — это не по умолчанию, а отдельное условие задачи.

6. 6

   Подытожим оба ответа. Оба события: $\mathbf{53.29\%}$. Хотя бы одно: $\mathbf{92.71\%}$. Все вычисления выше перепроверены, сумма вероятностей по всем четырём исходам даёт ровно $1$ — всё верно.