Найдите уравнение квадратичной регрессии для точек (10, 2.9), (20, 4.0) и (30, 4.9) и вычислите коэффициент детерминации R². Приведите вывод.

Step-by-step solution

1. 1

   Сразу заметим, что метод наименьших квадратов здесь не понадобится. У квадратичной функции три свободных параметра $a$, $b$, $c$, и точек данных ровно три. Три точки с различными значениями $x$ задают единственную параболу, поэтому решение по методу наименьших квадратов совпадает с интерполяционной параболой: минимально возможная сумма квадратов остатков равна $0$ и она достигается. Именно поэтому вся задача сводится к решению линейной системы $3\times3$.

2. 2

   Подставим каждую точку в $y=ax^2+bx+c$.

   $100a+10b+c=2.9\qquad(1)$

   $400a+20b+c=4.0\qquad(2)$

   $900a+30b+c=4.9\qquad(3)$

3. 3

   Исключим $c$, вычитая соседние уравнения. Разность сразу убирает $c$, потому что во всех трёх уравнениях его коэффициент один и тот же:

   $(2)-(1):\quad300a+10b=1.1\;\Longrightarrow\;30a+b=0.11\qquad(A)$

   $(3)-(2):\quad500a+10b=0.9\;\Longrightarrow\;50a+b=0.09\qquad(B)$

4. 4

   Возьмём разность ещё раз, найдём $a$ и подставим обратно.

   $(B)-(A):\quad20a=-0.02\;\Longrightarrow\;a=-0.001$

   $\text{из }(A):\;30(-0.001)+b=0.11\;\Longrightarrow\;b=0.14$

   $\text{из }(1):\;-0.1+1.4+c=2.9\;\Longrightarrow\;c=1.6$

   Уравнение регрессии имеет вид

   $y=-0.001x^2+0.14x+1.6$

   Двукратное вычитание — это вторая разность данных ($1.1-0.9=0.2$ на шаг в $10$), и именно поэтому $a$ получился отрицательным: приращения убывают, значит кривая изгибается вниз.

5. 5

   Вычислим прогнозные значения и сумму квадратов остатков.

   $\hat y(10)=-0.1+1.4+1.6=2.9,\quad \hat y(20)=-0.4+2.8+1.6=4.0,\quad \hat y(30)=-0.9+4.2+1.6=4.9$

   Каждое прогнозное значение совпало с наблюдаемым, поэтому

   $SS_{\text{ост}}=\sum(y_i-\hat y_i)^2=0$

6. 6

   Завершим вычислением $R^2$ — и проверим, что знаменатель не нулевой. При $\bar y=\frac{2.9+4.0+4.9}{3}=3.9333$ получаем

   $SS_{\text{общ}}=\sum(y_i-\bar y)^2=(-1.0333)^2+(0.0667)^2+(0.9667)^2=2.0067\neq0$

   значит $R^2$ определён корректно и

   $R^2=1-\frac{SS_{\text{ост}}}{SS_{\text{общ}}}=1-\frac{0}{2.0067}=1$

7. 7

   Отнесёмся к результату с должной долей скепсиса. Здесь $R^2=1$ — структурная неизбежность, а вовсе не доказательство того, что квадратичная модель хороша. Любые три точки, какими бы зашумлёнными они ни были, дадут $R^2=1$ при подгонке параболой — ровно так же, как любые две точки дают $R^2=1$ для прямой. Чтобы вообще что-то узнать о качестве модели, точек должно быть больше, чем параметров: при $n=3$ и $3$ параметрах остаточных степеней свободы ноль, а скорректированный $R^2$ не определён.