В мешке 3 красных и 5 белых шаров. Наудачу одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные?

Step-by-step solution

1. 1

   Решим, важен ли порядок. Оба шара вынимают одновременно, поэтому исход — это неупорядоченная пара шаров. Подсчёт неупорядоченных пар через сочетания делает числитель и знаменатель согласованными; ответ не изменится и при подсчёте упорядоченных пар, если считать их одинаково в обеих частях дроби.

2. 2

   Посчитаем все равновозможные исходы. В мешке $3+5=8$ шаров, и любая пара различных шаров равновозможна, поэтому пространство элементарных исходов содержит

   $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$

   элементов.

3. 3

   Посчитаем благоприятные исходы. «Оба шара красные» означает выбор $2$ шаров из $3$ красных:

   $\binom{3}{2}=3$

   Белые шары ни на что не влияют, кроме увеличения знаменателя.

4. 4

   Разделим и получим вероятность.

   $P(\text{оба красные})=\frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{3}{28}\approx 0.107$

   $\boxed{\dfrac{3}{28}}$

5. 5

   Проверим последовательным способом (теорема умножения). Будем вынимать по одному шару. Первый окажется красным с вероятностью $\tfrac{3}{8}$; при этом условии среди оставшихся $7$ шаров красных только $2$, поэтому второй красный с вероятностью $\tfrac{2}{7}$:

   $\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$

   Совпадение подтверждает, что выбор действительно рассматривался без возвращения. При выборе с возвращением ответ был бы $\left(\tfrac{3}{8}\right)^2=\tfrac{9}{64}$ — заметно больше.