Время выполнения теста распределено нормально со средним 58 минут и стандартным отклонением 12 минут. К какому моменту заканчивают тест 90% студентов?

Step-by-step solution

1. 1

   Поймём, что это обратная задача для нормального распределения. Дана вероятность, а найти нужно значение — направление, обратное привычному «найти вероятность». В обозначениях требуется найти такое $x$, что

   $P(X \le x) = 0.90, \qquad X \sim N(\mu = 58,\ \sigma = 12)$

2. 2

   Возьмём $z$-значение для 90-го процентиля. По таблице стандартного нормального распределения или на калькуляторе

   $z_{0.90} \approx 1.2816$

   (во многих учебниках его округляют до $1.28$; из-за этого итоговый ответ сдвигается примерно на $0.02$ минуты).

3. 3

   Вернёмся от $z$-значения к исходным единицам. Выражая $x$ из $z = \frac{x-\mu}{\sigma}$, получаем

   $x = \mu + z\sigma$

4. 4

   Подставим и посчитаем.

   $x = 58 + 1.2816 \times 12 = 58 + 15.38 = 73.38 \text{ мин}$

5. 5

   Проверим направление по смыслу. 90-й процентиль обязан лежать выше среднего — так и вышло, примерно на $1.28$ стандартного отклонения. Если ответ получился меньше $58$, значит по ошибке взято $-z$.