У пятнадцати участников измерили ИМТ до и после программы тренировок. До: 19.24, 20.50, 23.00, 31.90, 22.00, 34.30, 25.80, 23.70, 20.10, 32.40, 25.10, 25.00, 27.67, 23.48, 28.49. После: 18.50, 19.50, 21.90, 27.00, 21.70, 33.70, 24.80, 22.50, 19.80, 31.20, 23.93, 23.00, 28.99, 24.30, 28.92. Проверьте на уровне 5%, изменила ли программа средний ИМТ.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что два столбца — не независимые выборки. В каждой строке один и тот же человек, измеренный дважды, поэтому значения «до» и «после» связаны попарно. Двухвыборочный $t$-критерий воспринял бы их как $30$ никак не связанных наблюдений и утонул бы в огромном межиндивидуальном разбросе (здесь ИМТ меняется от $19$ до $34$). Работа с $15$ разностями убирает индивидуальный уровень каждого участника и оставляет только эффект программы — поэтому парный критерий гораздо чувствительнее.

2. 2

   Составим разности $d_i=\text{до}-\text{после}$.

   $0.74,\;1.00,\;1.10,\;4.90,\;0.30,\;0.60,\;1.00,\;1.20,\;0.30,\;1.20,\;1.17,\;2.00,\;-1.32,\;-0.82,\;-0.43$

   Двенадцать из пятнадцати положительны (ИМТ снизился), три отрицательны. Гипотезы формулируются относительно среднего разностей $\mu_d$:

   $H_0:\mu_d=0,\qquad H_1:\mu_d\neq 0$

3. 3

   Найдём среднее и стандартное отклонение разностей. Сумма разностей равна $382.68-369.74=12.94$, поэтому

   $\bar d=\frac{12.94}{15}=0.8627$

   $s_d=\sqrt{\frac{\sum (d_i-\bar d)^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{27.9933}{14}}=1.4140$

   В знаменателе стоит $n-1=14$, а не $n$: выборочное среднее уже подогнано под данные, поэтому свободно меняться могут лишь $14$ отклонений.

4. 4

   Переведём среднюю разность в статистику $t$. Стандартная ошибка $\bar d$ равна

   $s_{\bar d}=\frac{s_d}{\sqrt n}=\frac{1.4140}{\sqrt{15}}=0.3651$

   $t=\frac{\bar d-0}{s_{\bar d}}=\frac{0.8627}{0.3651}=2.363$

   при $df=n-1=14$. По сути статистика отвечает на вопрос «на сколько стандартных ошибок наблюдаемое снижение отстоит от нуля».

5. 5

   Сравним с критическим значением и найдём $p$-значение. Для двустороннего критерия при $\alpha=0.05$ и $14$ степенях свободы критическое значение равно $t^{*}=2.145$.

   $|t|=2.363>2.145$

   Соответствующее двустороннее $p$-значение равно $p\approx 0.033$, что меньше $0.05$. Отвергаем $H_0$: изменение среднего ИМТ статистически значимо.

6. 6

   Приведём доверительный интервал — одно лишь $p$-значение скрывает величину эффекта.

   $\bar d\pm t^{*}s_{\bar d}=0.8627\pm 2.145(0.3651)=0.8627\pm 0.7832$

   $95\%\text{ ДИ для }\mu_d:\;(0.0795,\;1.6458)$

   Интервал не содержит $0$ — тот же вывод, что и у критерия. Но он показывает и другое: снижение вполне могло составить всего $0.08$ единицы ИМТ, то есть быть статистически различимым и при этом почти не значимым клинически. Учтите также, что одна группа, измеренная дважды, — это исследование без контрольной группы, поэтому приписывать изменение исключительно программе нельзя.