В колоде из 60 карт 5 карт помечены буквой A и 23 другие карты помечены буквой B. Наудачу без возвращения вынимают пять карт. Какова вероятность того, что среди них есть хотя бы одна карта A и хотя бы одна карта B?

Step-by-step solution

1. 1

   Разобьём колоду на три непересекающиеся группы. Пометки не пересекаются, поэтому колода делится на

   $5\ \text{с пометкой A},\qquad 23\ \text{с пометкой B},\qquad 60-5-23=32\ \text{без пометки}$

   Любой дальнейший подсчёт — это выбор $5$ карт из одной такой стопки, а общее число равновозможных раскладов равно

   $\binom{60}{5}=5{,}461{,}512$

2. 2

   Перейдём к противоположным событиям: «хотя бы одна … и хотя бы одна …» в лоб считается мучительно. Перебирать расклады с $1$ картой A, с $2$ картами A, с $3$ и так далее, одновременно следя за картами B, — это двойная сумма. Вместо этого положим

   $A=\{\text{хотя бы одна A}\},\qquad B=\{\text{хотя бы одна B}\}$

   и применим формулу включений-исключений к дополнению:

   $P(A\cap B)=1-P(A^c\cup B^c)=1-P(A^c)-P(B^c)+P(A^c\cap B^c)$

   Каждое из трёх противоположных событий описывает выбор из одной ограниченной стопки, то есть выражается одним биномиальным коэффициентом. Слагаемое $+P(A^c\cap B^c)$ обязательно: расклады без обеих пометок вычтены дважды, и один раз их нужно вернуть.

3. 3

   Посчитаем расклады без A. Они набираются из $60-5=55$ карт, не помеченных A:

   $P(A^c)=\frac{\binom{55}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{3{,}478{,}761}{5{,}461{,}512}=0.63696$

4. 4

   Посчитаем расклады без B. Они набираются из $60-23=37$ карт, не помеченных B:

   $P(B^c)=\frac{\binom{37}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{435{,}897}{5{,}461{,}512}=0.07981$

   Малость этой вероятности — ожидаемая проверка на здравый смысл: если пометку B несут $23$ карты из $60$, промахнуться мимо всех них за пять вытягиваний должно быть маловероятно.

5. 5

   Посчитаем расклады вообще без пометок. Они набираются только из $32$ непомеченных карт:

   $P(A^c\cap B^c)=\frac{\binom{32}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{201{,}376}{5{,}461{,}512}=0.03687$

6. 6

   Соберём всё вместе. Приводя четыре количества к общему знаменателю $\binom{60}{5}$:

   $P(A\cap B)=\frac{5{,}461{,}512-3{,}478{,}761-435{,}897+201{,}376}{5{,}461{,}512}=\frac{1{,}748{,}230}{5{,}461{,}512}$

   $P(A\cap B)=0.32010\approx32.0\%$

7. 7

   Сверим результат с грубой оценкой. Вероятность поймать хотя бы одну A сама по себе равна $1-0.63696=0.36304$, а хотя бы одну B — $1-0.07981=0.92019$. Если бы события были независимы, произведение дало бы $0.36304\times0.92019=0.33406$; истинный ответ $0.32010$ чуть меньше — и это именно то, чего следует ожидать: события слегка отрицательно связаны, ведь места в пятикарточном раскладе, занятые картами A, уже не могут достаться картам B.