Пятнадцать участников измерены до и после воздействия. До: 9.7, 10.8, 16.0, 34.7, 10.9, 45.6, 23.4, 22.9, 17.6, 43.7, 25.4, 17.0, 35.7, 24.7, 36.3. После: 7.8, 8.8, 14.8, 33.2, 9.2, 42.5, 21.8, 21.4, 16.4, 41.5, 22.8, 13.0, 37.8, 26.5, 38.2. Найдите среднее и выборочное стандартное отклонение каждого набора.

Step-by-step solution

1. 1

   Вычислим оба средних по суммам. Значения «до» дают в сумме $374.4$, значения «после» — $355.7$, поэтому при $n=15$

   $\bar x_{\text{до}}=\frac{374.4}{15}=24.96,\qquad \bar x_{\text{после}}=\frac{355.7}{15}=23.71\overline{3}$

   Поправка к напечатанной таблице: в задании среднее «до» указано как $24.99$, однако пятнадцать перечисленных значений дают в среднем $24.96$. Среднее «после», равное $23.71$, проверку проходит. Всегда пересчитывайте столбец сами, а не доверяйте напечатанному итогу.

2. 2

   Выберем выборочную формулу с делением на n − 1. Эти пятнадцать человек — выборка из более широкой совокупности, поэтому сумму квадратов отклонений делим на $n-1=14$:

   $s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^{2}}{n-1}}$

   Деление на $n$ занизило бы разброс — ошибка, которая раз за разом встречается в готовых решениях подобных таблиц.

3. 3

   Просуммируем квадраты отклонений для набора «до». При $\bar x=24.96$ квадраты отклонений меняются от $(9.7-24.96)^2=232.87$ и $(24.7-24.96)^2=0.0676$ до $(45.6-24.96)^2=426.01$. Их сумма равна

   $\sum(x_i-\bar x)^{2}=1951.816$

4. 4

   Доведём до конца стандартное отклонение набора «до».

   $s_{\text{до}}=\sqrt{\frac{1951.816}{14}}=\sqrt{139.4154}=11.807$

5. 5

   Повторим то же для набора «после». При $\bar x=23.713$ сумма квадратов отклонений равна $2119.197$, поэтому

   $s_{\text{после}}=\sqrt{\frac{2119.197}{14}}=\sqrt{151.3712}=12.303$

6. 6

   Выпишем и истолкуем результаты.

   $\boxed{\bar x_{\text{до}}=24.96,\ s_{\text{до}}=11.81;\qquad \bar x_{\text{после}}=23.71,\ s_{\text{после}}=12.30}$

   Среднее упало примерно на $1.25$ процентного пункта, но разброс слегка вырос, то есть воздействие не сделало группу более однородной. (Для справки: стандартные отклонения генеральной совокупности, с делением на $15$, составили бы $11.41$ и $11.89$.)

7. 7

   Проверим по вычислительной формуле. Для набора «до» $\sum x=374.4$ и $\sum x^{2}=11296.84$, поэтому $\sum x^{2}-\tfrac{(\sum x)^2}{n}=11296.84-9345.024=1951.816$ — это совпадает с найденной выше суммой квадратов отклонений, что подтверждает и среднее, и сам итог.