Честную игральную кость бросают 8 раз. Описать вероятностное пространство и найти вероятность того, что хотя бы раз выпадет 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Оформим вероятностное пространство. Результатом опыта будет последовательность из восьми выпавших граней по порядку, поэтому

   $\Omega=\{1,\ldots,6\}^{8},\qquad |\Omega|=6^{8}=1\,679\,616,$

   принимается равномерная вероятность, так как кость честная и броски независимы.

2. 2

   Преобразуем «хотя бы один раз» к дополнению. Если считать случаи с одной, двумя, … до восьми шестёрок, придётся складывать восемь биномиальных слагаемых. Гораздо проще рассмотреть противоположное событие:

   $P(\text{at least one }6)=1-P(\text{no }6\text{ at all}).$

   Формулировка «хотя бы один» почти всегда подсказывает использовать дополнение.

3. 3

   Вычислим вероятность, что шестёрка не выпадет ни разу. За один бросок вероятность НЕ получить $6$ равна $\tfrac56$, а броски независимы, значит, за восемь бросков вероятность

   $\left(\frac{5}{6}\right)^{8}=\frac{390\,625}{1\,679\,616}=0,232568.$

4. 4

   Вычтем из единицы.

   $P(\text{at least one }6)=1-\frac{390\,625}{1\,679\,616}=\frac{1\,288\,991}{1\,679\,616}\approx 0,7674.$

5. 5

   Проверим разумность ответа. Математическое ожидание числа шестёрок — $8\times\tfrac16=1,33$, значит, получить хотя бы одну — вероятно, но не гарантировано. $76,7\%$ — вполне реалистично. Важно: это НЕ $8\times\tfrac16=133\%$; сложение вероятностей пересекающихся событий — типичная ошибка, которую и позволяет избежать метод дополнения.