Найти P(X > 58,253), где X распределён нормально с математическим ожиданием 55 и стандартным отклонением 10.

Step-by-step solution

1. 1

   Стандартизируем пороговое значение.

   Подставим значения в формулу для z-значения:
   $z=\frac{58.253-55}{10}=\frac{3.253}{10}=0.3253$

   Полученное значение — это примерно треть стандартного отклонения выше среднего, поэтому правая хвостовая вероятность ожидается чуть меньше $0.5$.

2. 2

   Преобразуем «больше» в интегральную вероятность. Таблицы стандартного нормального распределения дают левую площадь, поэтому используем дополнение:

   $P(X>58.253)=P(Z>0.3253)=1-\Phi(0.3253)$

   Если забыть вычесть из 1 — и взять $\Phi(z)$ напрямую — получится типичная ошибка для задач на правый хвост.

3. 3

   Вычисляем $\Phi$.

   По таблице:
   $\Phi(0.3253)=0.62752$

   Следовательно,
   $P(X>58.253)=1-0.62752=0.37248$

4. 4

   Округляем и записываем ответ.

   $P(X>58.253)\approx 0.3725\quad\text{(примерно }37.25\%\text{)}$

5. 5

   Проверяем результат по ориентирам. Для $z=0$ правая хвостовая вероятность ровно $0.5$, а для $z=0.5$ — $0.3085$. Так как $0.3253$ лежит между $0$ и $0.5$, ответ должен быть между $0.3085$ и $0.5$ — и $0.3725$ подходит $\checkmark$. Симметрично, $P(X<51.747)$ также равно $0.3725$.