Непрерывная случайная величина X имеет плотность f(x) = x при 0 < x ≤ 1, f(x) = 2 - x при 1 ≤ x < 2, и 0 иначе. Найдите E(X) и D(X).

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, что $f$ действительно является плотностью. Корректная функция плотности неотрицательна и интеграл по всей области равен $1$:

   $\int_0^1x\,dx+\int_1^2(2-x)\,dx=\frac12+\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=\frac12+\left(2-\frac32\right)=\frac12+\frac12=1$

   Геометрически это треугольник с основанием $2$ и высотой $1$, площадь $\frac12\cdot2\cdot1=1$. Такая проверка — надёжная страховка от ошибок в записи плотности.

2. 2

   Вычислим $E(X)$ по частям. Поскольку плотность задана кусочно, интеграл для математического ожидания разбивается в точке $x=1$:

   $E(X)=\int_0^1x\cdot x\,dx+\int_1^2x(2-x)\,dx=\int_0^1x^{2}dx+\int_1^2\left(2x-x^{2}\right)dx$

   $=\frac13+\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_1^2=\frac13+\left(\frac43-\frac23\right)=\frac13+\frac23=1$

3. 3

   Заметим, что можно было воспользоваться симметрией. Треугольник симметричен относительно $x=1$: $f(1-u)=1-u$ и $f(1+u)=1-u$ при $0\le u\le1$. Для любой плотности, симметричной относительно точки, математическое ожидание совпадает с этой точкой, то есть $E(X)=1$ без всяких вычислений. Интеграл выше лишь подтверждает это.

4. 4

   Вычислим $E(X^{2})$, что симметрия уже не даёт.

   $E(X^{2})=\int_0^1x^{3}dx+\int_1^2x^{2}(2-x)\,dx=\frac14+\left[\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_1^2$

   Подставляя $2$ в скобку, получаем $\frac{16}{3}-4=\frac43$; при $1$ — $\frac23-\frac14=\frac{5}{12}$. Значит, второй интеграл равен $\frac43-\frac{5}{12}=\frac{11}{12}$, и

   $E(X^{2})=\frac14+\frac{11}{12}=\frac{3}{12}+\frac{11}{12}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$

5. 5

   Применим формулу для дисперсии.

   $D(X)=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}=\frac76-1^{2}=\frac{7}{6}-\frac{6}{6}=\frac16\approx0.1667$

   Стандартное отклонение: $\sqrt{1/6}=0.408$.

6. 6

   Проверим разумность ответа. Вся вероятность сосредоточена на $(0,2)$ — отрезке длины $2$, значит, стандартное отклонение должно быть существенно меньше $1$; $0.408$ вполне подходит. Это также меньше, чем $0.577$ для равномерного распределения на $(0,2)$, что логично: треугольная плотность концентрирует массу ближе к центру, а не распределяет равномерно.