Сводные статистики выборки: сумма X = 8, сумма X² = 46, объём выборки 4. Чему равна стандартная ошибка среднего?

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим два деления. Стандартная ошибка равна

   $s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$

   и в ней участвуют два знаменателя: $n-1$ при переходе от $SS$ к $s^2$ и $\sqrt{n}$ при переходе от $s$ к стандартной ошибке. Именно путаница между ними порождает все неверные варианты ответа в этой задаче.

2. 2

   Считаем сумму квадратов отклонений. По расчётной формуле:

   $SS = \sum X^2 - \frac{\left(\sum X\right)^2}{n} = 46 - \frac{8^2}{4} = 46 - 16 = 30$

3. 3

   Находим выборочную дисперсию и стандартное отклонение. Делим на $n - 1 = 3$:

   $s^2 = \frac{30}{3} = 10, \qquad s = \sqrt{10} = 3.16228$

4. 4

   Делим на корень из $n$.

   $s_{\bar{X}} = \frac{3.16228}{\sqrt{4}} = \frac{3.16228}{2} = 1.58114 \approx 1.581$

5. 5

   Разбираем, откуда берутся неверные варианты. $3.162$ — это само $s$, если пропустить деление на $\sqrt{n}$. $1.826$ — это $\sqrt{10/3} = \sqrt{3.333}$, если разделить дисперсию на $n-1$ дважды. $1.369$ — это $\sqrt{30/16}$, а $0.791$ — это $1.581/2$, лишнее деление пополам. Только $1.581$ получается, если каждое деление выполнено ровно один раз.

6. 6

   Проверяем на конкретных данных. Четыре значения $-1, 0, 3, 6$ дают $\sum X = 8$ ✓ и $\sum X^2 = 1+0+9+36 = 46$ ✓. Их среднее равно $2$, отклонения равны $-3, -2, 1, 4$, и $SS = 9+4+1+16 = 30$ ✓ — совпадает с расчётной формулой. Значит, $s = \sqrt{30/3} = 3.162$ и $s_{\bar{X}} = 3.162/2 = 1.581$ ✓.