В тесте получено χ²(1) = 137,38. Найдите p-значение.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, что такое p-значение в данной задаче. Под $p$-значением здесь понимается вероятность в правом хвосте $P\!\left(\chi^2_1 \ge 137.38\right)$ — то есть вероятность получить столь же экстремальное или более экстремальное значение статистики при условии, что нулевая гипотеза верна. В критерии согласия хи-квадрат всегда используется правосторонний хвост, так как отклонения в обе стороны увеличивают значение статистики.

2. 2

   Используем связь между хи-квадрат с 1 степенью свободы и стандартным нормальным распределением. Если $Z\sim N(0,1)$, то $Z^2 \sim \chi^2_1$. Следовательно, $P\!\left(\chi^2_1 \ge c\right) = P\!\left(|Z| \ge \sqrt{c}\right) = 2\left(1-\Phi\!\left(\sqrt{c}\right)\right).$ Это позволяет заменить малознакомый хвост хи-квадрат на привычный хвост нормального распределения.

3. 3

   Преобразуем статистику в z-оценку. Вычисляется $\sqrt{137.38} = 11.720921\ldots$ — то есть наблюдаемое значение отклоняется почти на $11{,}7$ среднеквадратических ошибок от нулевого значения.

4. 4

   Вычислим вероятность в двухстороннем хвосте нормального распределения. В замкнутом виде $2\left(1-\Phi(z)\right)=\operatorname{erfc}\!\left(z/\sqrt{2}\right)$, поэтому $p = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{137.38/2}\right) = \operatorname{erfc}(8.287943) \approx 9.96\times 10^{-32}.$

5. 5

   Проверим результат по асимптотической формуле для хвоста. Для больших $z$ выполняется $1-\Phi(z)\approx \dfrac{e^{-z^2/2}}{z\sqrt{2\pi}}$, отсюда $p \approx \dfrac{2e^{-68.69}}{11.7209\sqrt{2\pi}} \approx 1.00\times10^{-31}$ — порядок совпадает, значит, вычисленное значение достоверно.

6. 6

   Интерпретируем результат. Так как $p \approx 10^{-31}$ — это астрономически меньше любых стандартных уровней значимости, например, $0.05$ или $0.001$, нулевая гипотеза отвергается однозначно. В программном обеспечении часто выводится как p < 0.001 или даже p = 0; корректно записывать $p<0.001$, а не буквально ноль.