Пять независимых событий происходят каждое с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что произойдут все пять, и каково математическое ожидание числа произошедших?

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем модель. Пусть $X$ — число из пяти событий, которые произошли. Каждое событие происходит независимо с одинаковой вероятностью $p=0.2$, что соответствует биномиальной случайной величине:

   $X\sim\mathrm{Bin}(n,p)=\mathrm{Bin}(5,\,0.2).$

   Сначала указывается модель — это позволяет решать обе части задачи стандартными формулами, а не рассуждать с нуля.

2. 2

   (a) Перемножим вероятности независимых событий. Для независимых событий вероятность того, что произойдут все, равна произведению вероятностей каждого:

   $P(X=5)=0.2\times0.2\times0.2\times0.2\times0.2=0.2^{5}=0.00032.$

   В процентах это $0.032\%$ — примерно один шанс из $3125$, так как $0.2=\tfrac15$ и $5^{5}=3125$. Независимость здесь принципиальна: без неё правило произведения не работает.

3. 3

   Проверим по формуле биномиального распределения. Общий вид: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$. При $k=n=5$:

   $\binom{5}{5}(0.2)^{5}(0.8)^{0}=1\times0.00032\times1=0.00032,$

   то есть прямое перемножение и формула биномиального распределения дают одинаковый результат.

4. 4

   (b) Используем формулу для математического ожидания биномиального распределения. Математическое ожидание биномиальной случайной величины:

   $E[X]=np=5\times0.2=1.$

   Причина — линейность математического ожидания: $X=I_{1}+\cdots+I_{5}$, где каждый индикатор $I_{j}$ равен $1$, если событие $j$ произошло. Тогда $E[I_{j}]=p=0.2$ и $E[X]=5\times0.2=1$ — причём это рассуждение не требует независимости.

5. 5

   Интерпретируем оба результата вместе. В среднем происходит ровно одно из пяти событий, но вероятность того, что произойдут все пять, крайне мала — $0.00032$. Противоречия нет: распределение сильно смещено к малым числам, так как $P(X=0)=0.8^{5}=0.32768$ и $P(X=1)=5(0.2)(0.8)^{4}=0.4096$ вместе дают около $74\%$ вероятности. Дисперсия $np(1-p)=0.8$ подтверждает, что разброс мал.