5% мужчин и 0,25% женщин страдают дальтонизмом, мужчин и женщин поровну. Случайно выбран человек. (1) Какова вероятность, что он дальтоник? (2) Какова вероятность, что он мужчина, если известно, что он дальтоник?

Step-by-step solution

1. 1

   Введём обозначения и выпишем исходные вероятности. Пусть $M$ — мужчина, $W$ — женщина, $B$ — дальтоник. Дано:

   $P(M)=P(W)=0.5,\qquad P(B\mid M)=0.05,\qquad P(B\mid W)=0.0025$

   Заметим, что $0.25\%=0.0025$, а не $0.025$ — ошибка на порядок здесь меняет оба ответа.

2. 2

   (1) Применим закон полной вероятности. Множества $M$ и $W$ разбивают всё население, значит:

   $P(B)=P(M)P(B\mid M)+P(W)P(B\mid W)$

3. 3

   Выполним вычисления для пункта (1).

   $P(B)=0.5(0.05)+0.5(0.0025)=0.025+0.00125=0.02625$

   То есть примерно $2{,}6\%$ населения страдают дальтонизмом — логично, ведь это между мужским ($5\%$) и женским ($0.25\%$) показателями.

4. 4

   (2) Применим формулу Байеса. Вопрос требует обратить условие:

   $P(M\mid B)=\frac{P(M)P(B\mid M)}{P(B)}=\frac{0.025}{0.02625}$

5. 5

   Посчитаем выражение для пункта (2). Умножим числитель и знаменатель на $10000$ и сократим:

   $\frac{250}{262.5}=\frac{2000}{2100}=\frac{20}{21}\approx 0.9524$

   $\boxed{P(B)=0.02625,\qquad P(M\mid B)=\tfrac{20}{21}\approx 0.952}$

6. 6

   Проверим смысл результата. Хотя мужчин всего половина, $95\%$ дальтоников — мужчины, ведь у мужчин вероятность в $20$ раз выше. Проверим дополнение: $P(W\mid B)=\tfrac{0.00125}{0.02625}=\tfrac{1}{21}$, а $\tfrac{20}{21}+\tfrac{1}{21}=1$ ✓.