Три орудия стреляют по цели независимо с вероятностями попадания 0,2, 0,3 и 0,5. Найти (1) вероятность того, что хотя бы одно попадёт, и (2) вероятность того, что попадёт ровно одно.

Step-by-step solution

1. 1

   Обозначим события и их противоположности. Пусть $A_1, A_2, A_3$ — события попадания, где $P(A_1)=0.2$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.5$. Независимость означает, что вероятности перемножаются, а вероятности промаха равны дополнениям: $0.8$, $0.7$ и $0.5$.

2. 2

   (1) Используем правило дополнения вместо объединения трёх событий. Формула включений-исключений для трёх событий даёт семь слагаемых, а правило дополнения — только одно произведение:

   $P(\text{ хотя бы одно попадание })=1-P(\text{ все три промахнулись })=1-(0.8)(0.7)(0.5)$

3. 3

   Выполним вычисления.

   $(0.8)(0.7)(0.5)=0.28\quad\Longrightarrow\quad P=1-0.28=0.72$

4. 4

   (2) Перечислим три несовместных способа получить ровно одно попадание. Ровно одно попадание означает, что одно орудие попадает, а два других промахиваются:

   $P=\underbrace{(0.2)(0.7)(0.5)}_{\text{ только 1-е }}+\underbrace{(0.8)(0.3)(0.5)}_{\text{ только 2-е }}+\underbrace{(0.8)(0.7)(0.5)}_{\text{ только 3-е }}$

   Заметим, что вероятность попадания каждого орудия берётся один раз, а для остальных двух — вероятность промаха. Это типичная точка для ошибок.

5. 5

   Сложим три слагаемых.

   $0.07+0.12+0.28=0.47$

   $\boxed{P(\text{ хотя бы одно })=0.72,\qquad P(\text{ ровно одно })=0.47}$

6. 6

   Проверим по полному распределению. Вероятности $0,1,2,3$ попаданий равны $0.28$, $0.47$, $0.22$ и $0.03$ (для двух попаданий: $0.2\cdot 0.3\cdot 0.5+0.2\cdot 0.7\cdot 0.5+0.8\cdot 0.3\cdot 0.5=0.03+0.07+0.12=0.22$; для трёх: $0.2\cdot 0.3\cdot 0.5=0.03$). Сумма даёт $1.00$ ✓, а $0.47+0.22+0.03=0.72$ совпадает с пунктом (1).