В классе по математике половина учеников набрала 40 баллов на тесте. За исключением нескольких, кто получил 80, остальные получили 58. Какое утверждение о распределении верно: среднее равно медиане, среднее меньше моды, среднее меньше медианы или среднее больше медианы?

Step-by-step solution

1. 1

   Введём обозначения, чтобы не рассуждать на глаз. Пусть $N$ — чётное число учеников в классе, тогда $\tfrac{N}{2}$ человек получили $40$ баллов, $k$ человек — $80$ баллов, где $k$ мало и $k \ge 1$, а оставшиеся $\tfrac{N}{2} - k$ — $58$ баллов. Всё дальнейшее зависит только от этих количеств, поэтому вывод не зависит от того, как именно понимать «несколько».

2. 2

   Точно определим медиану. Если упорядочить баллы по возрастанию, то позиции с $1$ по $\tfrac{N}{2}$ занимают значения $40$, а начиная с $\tfrac{N}{2}+1$ идут $58$, затем $80$. Для чётного $N$ медиана — это среднее арифметическое значений на позициях $\tfrac{N}{2}$ и $\tfrac{N}{2}+1$:

   $\text{медиана} = \frac{40 + 58}{2} = 49$

   Это не зависит от $k$ — важный момент, ведь только среднее может изменяться.

3. 3

   Вычислим среднее в явном виде.

   $\text{среднее} = \frac{40\cdot\tfrac{N}{2} + 58\left(\tfrac{N}{2} - k\right) + 80k}{N} = \frac{49N + 22k}{N} = 49 + \frac{22k}{N}$

4. 4

   Сравним значения. Так как $k \ge 1$, слагаемое $\tfrac{22k}{N}$ строго положительно, поэтому

   $\text{среднее} = 49 + \frac{22k}{N} > 49 = \text{медиана}$

   Распределение скошено вправо: небольшая группа с высокими баллами тянет среднее вверх, а медиана остаётся неизменной. Верный вариант — D.

5. 5

   Исключим остальные варианты. A неверно, потому что среднее строго больше $49$. В C знак неравенства перепутан. B не подходит, так как мода — это $40$ (у половины класса), а среднее выше $49$, то есть среднее больше моды, а не меньше.

6. 6

   Проверим на конкретных числах. Пусть $N = 20$, $k = 3$: десять баллов по $40$, три по $80$, семь по $58$. Среднее $= \tfrac{400 + 240 + 406}{20} = 52{,}3$, медиана $= 49$, мода $= 40$. При $N = 40$, $k = 5$: среднее $= 51{,}75$, медиана $= 49$. Всё совпадает с формулой $49 + \tfrac{22k}{N}$.