В выборке из N = 8 сумма X = 48 и сумма X² = 351. Проверить среднее против гипотетического значения 9,00: чему равен t?

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем формулу t-критерия для одной выборки.

   $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{N}}$

   Все необходимые параметры можно выразить через $N$, $\sum X$ и $\sum X^2$ — исходные значения элементов выборки не требуются.

2. 2

   Среднее и сумма квадратов отклонений.

   $\bar{X} = \frac{48}{8} = 6.00, \qquad SS = \sum X^2 - \frac{\left(\sum X\right)^2}{N} = 351 - \frac{2304}{8} = 63$

   Сначала вычисляется среднее, затем сумма квадратов отклонений от среднего.

3. 3

   Стандартное отклонение и стандартная ошибка. В знаменателе используется $N-1 = 7$:

   $s^2 = \frac{63}{7} = 9, \quad s = 3, \quad s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{N}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2.828427} = 1.060660$

   Таким образом, стандартное отклонение равно $3$, а стандартная ошибка — $1{,}06$.

4. 4

   Вычислим $t$, учитывая знак. Среднее по выборке $6$ меньше гипотетического значения $9$, поэтому $t$ обязательно получится отрицательным — если знак положительный, значит, где-то была потеряна разность:

   $t = \frac{6.00 - 9.00}{1.060660} = \frac{-3}{1.060660} = -2.8284 \approx -2.83$

5. 5

   Проверим типичные ошибки. $-8.00$ получается, если поделить разность средних на $s^2/\ldots$; $-2.65$ возникает при ошибке в стандартной ошибке ($s_{\bar X} = 1.132$); $3.02$ — это неверный знак и масштаб. Также заметим точное значение: $\dfrac{3}{3/\sqrt{8}} = \sqrt{8} = 2.8284$, то есть $t = -\sqrt{8}$ в точности.

6. 6

   Интерпретация. При $df = N - 1 = 7$ двустороннее критическое значение при $\alpha = 0.05$ составляет $2.365$. Так как $|-2.83| > 2.365$, среднее $6.00$ статистически значимо отличается от $9.00$ на уровне $5\%$.