В выборке из n = 278 наблюдений среднее 8,83 и стандартное отклонение 41,40. Постройте 95% доверительный интервал для среднего генеральной совокупности.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбор подходящей формулы интервала. Стандартное отклонение генеральной совокупности $\sigma$ неизвестно и оценивается по выборке, поэтому используется $t$-интервал:

   $\bar x\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt n}$

   где число степеней свободы $n-1=277$. При $n=278$ выборка достаточно велика, чтобы по центральной предельной теореме интервал был корректен даже при ненормальном распределении данных — что здесь важно, так как $s=41.40$ почти в пять раз больше среднего, что указывает на сильно скошенное распределение.

2. 2

   Вычисление стандартной ошибки среднего. Она показывает, насколько само $\bar x$ может меняться от выборки к выборке:

   $SE=\frac{s}{\sqrt n}=\frac{41.40}{\sqrt{278}}=\frac{41.40}{16.6733}=2.4830$

   Именно $\sqrt n$ в знаменателе объясняет, почему большая выборка уменьшает ошибку: разброс $41.40$ делится почти на $17$.

3. 3

   Определение критического значения для $95\%$ доверия. Для $95\%$ доверия $\alpha=0.05$, по $0.025$ на каждый хвост. При $df=277$:

   $t_{0.025,\,277}=1.9686$

   Это значение лишь немного больше нормального $z_{0.025}=1.9600$, так как $t$-распределение с сотнями степеней свободы практически совпадает со стандартным нормальным. Использование $z$ здесь допустимо, но строго по правилам при оценке $\sigma$ применять нужно именно $t$.

4. 4

   Вычисление запаса (погрешности) интервала.

   $ME=t\cdot SE=1.9686\times2.4830=4.8880$

   Округлять стоит только в самом конце; если округлить $SE$ до $2.48$ заранее, концы интервала сместятся в третьем знаке после запятой.

5. 5

   Сборка доверительного интервала.

   $\bar x\pm ME=8.83\pm4.888\;\Longrightarrow\;(8.83-4.888,\;8.83+4.888)=(3.942,\;13.718)$

   Округляя до сотых, $95\%$ доверительный интервал для $\mu$ — это $(3.94,\;13.72)$. Для сравнения, $z$-интервал дал бы $(3.96,\;13.70)$ — различие всего в сотых, что ожидаемо при таком размере выборки.

6. 6

   Корректная интерпретация результата. Формулировка касается процедуры, а не конкретного интервала: если многократно повторять отбор выборок, $95\%$ построенных таким образом интервалов будут содержать истинное среднее $\mu$. Неверно утверждать, что $95\%$ отдельных наблюдений лежат в $(3.94,13.72)$ — разброс данных определяется $s=41.40$, что примерно в семнадцать раз шире этого интервала, который отражает только неопределённость среднего.