В колоде из 60 карт — 9 отмеченных. Три карты вытягиваются случайно без возврата. Какова вероятность, что хотя бы одна из них отмечена?

Step-by-step solution

1. 1

   Используем правило дополнения вместо перебора случаев. Событие «хотя бы одна отмеченная» включает варианты с одной, двумя или тремя отмеченными. Его дополнение — это единственный случай «ни одной отмеченной», поэтому

   $P(\text{ хотя бы одна })=1-P(\text{ ни одной })$

   Для задач на «хотя бы одну» такой подход всегда проще.

2. 2

   Вычислим общее число способов вытянуть три карты. Порядок не важен, значит,

   $\binom{60}{3}=\frac{60\times59\times58}{3\times2\times1}=34220$

3. 3

   Посчитаем число способов вытянуть только неотмеченные карты. Все три должны быть из $51$ неотмеченной:

   $\binom{51}{3}=\frac{51\times50\times49}{3\times2\times1}=20825$

4. 4

   Запишем вероятность дополнения.

   $P(\text{ ни одной })=\frac{20825}{34220}=0.60856\ldots$

   Отсюда

   $P(\text{ хотя бы одна })=1-\frac{20825}{34220}=\frac{34220-20825}{34220}=\frac{13395}{34220}$

   В сокращённом виде — $\tfrac{2679}{6844}$.

5. 5

   Переведём результат в проценты.

   $\frac{13395}{34220}=0.391438\ldots\approx39.14\%$

6. 6

   Проверим рассуждение через приближённую оценку. Вероятность вытянуть отмеченную карту за одну попытку — $\tfrac{9}{60}=15\%$. Три почти независимых вытягивания дадут вероятность промаха примерно $0.85^3=0.614$, то есть около $38.6\%$ — очень близко к точному $39.14\%$, небольшое отличие связано с тем, что вытягивание идёт без возврата ✓.

7. 7

   Заметим, почему стартовая рука не влияет на ответ. Если бы пять карт уже были сданы втемную и не рассматривались, три вытянутые после этого всё равно образуют равновероятное тройное подмножество из исходных $60$, так что расчёт не меняется.