Из мешка с картами 1, 2 и 3 пять раз вытаскивают карту с возвращением, записывая номер. Найти вероятность, что тройка выпадет ровно один раз.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, что выполняются условия биномиального распределения. После каждого вытаскивания карта возвращается, поэтому все пять опытов независимы и вероятность появления тройки в каждом равна $p=\tfrac13$. Число опытов фиксировано: $n=5$, считаем число «успехов» (выпадение тройки), значит, применимо биномиальное распределение:

   $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k}$

2. 2

   Выберем, в каком из опытов выпадет тройка. Одна тройка может появиться на любом из пяти вытаскиваний:

   $\binom{5}{1}=5$

   Часто ошибочно забывают этот множитель, что приводит к ответу в 5 раз меньше.

3. 3

   Перемножим вероятности для одного фиксированного случая. Если известно, в каком именно опыте выпала тройка: вероятность этого — $\tfrac13$, а в остальных четырёх опытах должна выпасть $1$ или $2$, вероятность каждого — $\tfrac23$:

   $\frac13\left(\frac23\right)^{4}=\frac13\cdot\frac{16}{81}=\frac{16}{243}$

4. 4

   Умножим на число вариантов.

   $P=5\cdot\frac{16}{243}=\frac{80}{243}\approx 0.329$

   $\boxed{\dfrac{80}{243}}$

5. 5

   Проверим по всему биномиальному распределению. Вероятности для $k=0,\ldots,5$ равны $\binom5k(\tfrac13)^k(\tfrac23)^{5-k}$: $\tfrac{32}{243},\tfrac{80}{243},\tfrac{80}{243},\tfrac{40}{243},\tfrac{10}{243},\tfrac{1}{243}$, сумма $\tfrac{243}{243}=1$ ✓. Математическое ожидание числа троек: $np=\tfrac53\approx 1.67$, так что $k=1$ — один из двух наиболее вероятных исходов, что логично.