Найдите двустороннее p-значение для z-статистики, равной 2,1.

Step-by-step solution

1. 1

   Проговорим, что именно измеряет p-значение. Это вероятность — при условии, что нулевая гипотеза верна, — получить статистику критерия не менее экстремальную, чем наблюдаемая. Для двустороннего критерия «экстремальная» означает далёкая от нуля в любую сторону.

2. 2

   Находим площадь правого хвоста. По стандартному нормальному распределению

   $P(Z>2.1)=1-\Phi(2.1)=1-0.982136=0.017864.$

   По таблице $\Phi(2.1)=0.9821$; точное значение через функцию ошибок равно $0.9821356$.

3. 3

   Удваиваем ради второго хвоста. По симметрии $P(Z<-2.1)$ равна тем же $0.017864$, поэтому

   $p=2\times 0.017864=0.035729\approx 0.0357.$

   Забыть про удвоение — самая частая ошибка в такой задаче: результат стал бы вдвое «значимее», чем он есть на самом деле.

4. 4

   Сравниваем с обычными порогами. Так как $0.0357<0.05$, результат значим на уровне $5\%$, но так как $0.0357>0.01$, на уровне $1\%$ он не значим. Равносильно: $2.1$ превышает двустороннее критическое значение $1.96$, но не дотягивает до $2.576$.

5. 5

   Аккуратно формулируем вывод. Отвергаем $H_0$ при $\alpha=0.05$. При этом $p$-значение — вероятность получить настолько экстремальные данные при условии $H_0$, а вовсе не вероятность того, что $H_0$ верна; последнее — совсем другое и очень часто неверно употребляемое утверждение.