Три группы по семь человек дали суммы X = 36, 17 и 13 при суммах X² = 200, 59 и 35 (в целом сумма X = 66, сумма X² = 294, N = 21). Проведите однофакторный дисперсионный анализ и найдите размер эффекта эта-квадрат.

Step-by-step solution

1. 1

   Один раз посчитаем поправочный член и будем им пользоваться дальше. Все суммы квадратов в однофакторном дисперсионном анализе строятся из одного и того же слагаемого, зависящего от общей суммы:

   $\frac{\left(\sum X_{\text{общ}}\right)^{2}}{N}=\frac{66^{2}}{21}=\frac{4356}{21}=207.4286$

   Если посчитать его один раз и держать лишние знаки после запятой, не накопится та ошибка округления, из-за которой у студентов $SS_{\text{внутр}}$ выходит отрицательной.

2. 2

   Общая изменчивость.

   $SS_{\text{общ}}=\sum X^{2}_{\text{итог}}-\frac{\left(\sum X_{\text{итог}}\right)^{2}}{N}=294-207.4286=86.5714$

3. 3

   Изменчивость, объяснённая разбиением на группы. Заменяем каждое значение групповым средним; в сводной записи это означает возвести сумму по группе в квадрат и разделить на $n$ этой группы:

   $SS_{\text{межгр}}=\sum\frac{\left(\sum X_j\right)^{2}}{n_j}-\frac{\left(\sum X_{\text{общ}}\right)^{2}}{N}=\frac{36^{2}+17^{2}+13^{2}}{7}-207.4286$

   $=\frac{1296+289+169}{7}-207.4286=250.5714-207.4286=43.1429$

4. 4

   Размер эффекта: какая доля дисперсии объясняется группировкой.

   $\eta^{2}=\frac{SS_{\text{межгр}}}{SS_{\text{общ}}}=\frac{43.1429}{86.5714}=0.4983\approx0.50$

   В виде точной дроби это $\frac{302/7}{606/7}=\frac{151}{303}$. По принятым ориентирам ($0.01$ — малый, $0.06$ — средний, $0.14$ — большой) значение $\eta^{2}$ около $0.50$ соответствует очень большому эффекту: половина изменчивости результатов связана с тем, в какую группу попал участник.

5. 5

   Достроим таблицу дисперсионного анализа и убедимся в значимости. Оставшаяся изменчивость равна

   $SS_{\text{внутр}}=86.5714-43.1429=43.4286,\qquad df_{\text{межгр}}=2,\quad df_{\text{внутр}}=18$

   $MS_{\text{межгр}}=\frac{43.1429}{2}=21.571,\qquad MS_{\text{внутр}}=\frac{43.4286}{18}=2.413$

   $F=\frac{21.571}{2.413}=8.94$

6. 6

   Сравним $F$ с критическим значением. При $df=(2,18)$ имеем $F_{.05}=3.55$ и $F_{.01}=6.01$. Так как $8.94$ больше обоих (точное $p=0.002$), нулевая гипотеза о том, что все три группы взяты из одной генеральной совокупности, отвергается на уровне $.01$ — что согласуется с очень большим $\eta^{2}$. Сами групповые средние, $5.14$, $2.43$ и $1.86$, показывают, где именно лежит различие.